Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13944
2020-04-05 
В калориметре смешали некоторое количество воды и льда. Их точные массы и начальные температуры не известны, но эти значения лежат в выделенных на диаграмме заштрихованных областях (рис.). Найдите максимальное количество теплоты, которое могло быть передано водой льду, если после установления теплового равновесия масса льда не изменилась. Определите возможную массу содержимого калориметра в этом случае. Удельная теплота плавления льда $\lambda = 340 кДж/кг$, удельная теплоемкость воды $c = 4200 Дж/(кг \cdot ^{ \circ} С)$, удельная теплоемкость льда $c_{1} = 2100 Дж/(кг \cdot ^{ \circ} С)$. Массы воды и льда на диаграмме приведены в условных единицах, показывающих, во сколько раз их массы меньше, чем $m_{0} = 1 кг$. Теплоемкостью калориметра и потерями тепла пренебречь.
Решение:
По условию масса льда в результате теплообмена не изменяется, следовательно, переданное тепло выделяется при остывании воды и идет на нагревание льда (процессов плавления/кристаллизации нет).
Количество теплоты, которое может отдать остывающая вода, равно
$Q = mc(t - t_{0})$
(поскольку $t_{0} = 0^{ \circ} C$). Максимум тепла выделится при максимальном по модулю значении произведения $mt$. Одинаковым значениям этого произведения соответствуют точки, лежащие на прямых, проведенных из начала координат (рис.). Действительно, для них выполняется условие
$t = \alpha \frac{m_{0} }{m}$, или $mt = \alpha m_{0} = const$,
где $\alpha$ - угловой коэффициент наклона прямой. Чем больше угол наклона прямой, тем больше модуль произведения $mt$. Это условие выполняется для прямой 1, проведенной из начала координат и касающейся области возможных параметров воды. Но такое выделенное водой количество теплоты привело бы к плавлению льда. Действительно, удельная теплоемкость льда в два раза меньше удельной теплоемкости воды, поэтому прямой 1 соответствует прямая 2, имеющая в два раза больший угловой коэффициент наклона, но она не касается области возможных параметров льда. Следовательно, максимальное $Q_{max}$ будет определяться прямой 3 и соответствующей ей прямой 4, проходящей через область возможных параметров воды, для которой $mt = \frac{10}{6} кг \cdot ^{ \circ} С = 1,67 кг \cdot ^{ \circ} С$. Отсюда находим
$Q_{max} = 7,0 кДж$.
Крайние точки пересечения прямой 4 с областью возможных параметров воды определяют диапазон масс добавленной в калориметр воды:
$\left [ \frac{m_{0} }{6,2} ; \frac{m_{0} }{3,0} \right ]$, или $[0,16; 0,33]$ кг.
Точка касания прямой 3 области возможных параметров льда позволяет найти массу льда в калориметре:
$\left [ \frac{m_{0} }{4,6} \right ] = 0,22 кг$.
Отсюда получаем, что возможная масса содержимого лежит в диапазоне [0,38; 0,55] кг.
В калориметре смешали некоторое количество воды и льда. Их точные массы и начальные температуры не известны, но эти значения лежат в выделенных на диаграмме заштрихованных областях (рис.). Найдите максимальное количество теплоты, которое могло быть передано водой льду, если после установления теплового равновесия масса льда не изменилась. Определите возможную массу содержимого калориметра в этом случае. Удельная теплота плавления льда $\lambda = 340 кДж/кг$, удельная теплоемкость воды $c = 4200 Дж/(кг \cdot ^{ \circ} С)$, удельная теплоемкость льда $c_{1} = 2100 Дж/(кг \cdot ^{ \circ} С)$. Массы воды и льда на диаграмме приведены в условных единицах, показывающих, во сколько раз их массы меньше, чем $m_{0} = 1 кг$. Теплоемкостью калориметра и потерями тепла пренебречь.
Решение:
По условию масса льда в результате теплообмена не изменяется, следовательно, переданное тепло выделяется при остывании воды и идет на нагревание льда (процессов плавления/кристаллизации нет).
Количество теплоты, которое может отдать остывающая вода, равно
$Q = mc(t - t_{0})$
(поскольку $t_{0} = 0^{ \circ} C$). Максимум тепла выделится при максимальном по модулю значении произведения $mt$. Одинаковым значениям этого произведения соответствуют точки, лежащие на прямых, проведенных из начала координат (рис.). Действительно, для них выполняется условие
$t = \alpha \frac{m_{0} }{m}$, или $mt = \alpha m_{0} = const$,
где $\alpha$ - угловой коэффициент наклона прямой. Чем больше угол наклона прямой, тем больше модуль произведения $mt$. Это условие выполняется для прямой 1, проведенной из начала координат и касающейся области возможных параметров воды. Но такое выделенное водой количество теплоты привело бы к плавлению льда. Действительно, удельная теплоемкость льда в два раза меньше удельной теплоемкости воды, поэтому прямой 1 соответствует прямая 2, имеющая в два раза больший угловой коэффициент наклона, но она не касается области возможных параметров льда. Следовательно, максимальное $Q_{max}$ будет определяться прямой 3 и соответствующей ей прямой 4, проходящей через область возможных параметров воды, для которой $mt = \frac{10}{6} кг \cdot ^{ \circ} С = 1,67 кг \cdot ^{ \circ} С$. Отсюда находим
$Q_{max} = 7,0 кДж$.
Крайние точки пересечения прямой 4 с областью возможных параметров воды определяют диапазон масс добавленной в калориметр воды:
$\left [ \frac{m_{0} }{6,2} ; \frac{m_{0} }{3,0} \right ]$, или $[0,16; 0,33]$ кг.
Точка касания прямой 3 области возможных параметров льда позволяет найти массу льда в калориметре:
$\left [ \frac{m_{0} }{4,6} \right ] = 0,22 кг$.
Отсюда получаем, что возможная масса содержимого лежит в диапазоне [0,38; 0,55] кг.
