Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13940
2020-04-05 
В баллистической лаборатории при проведении эксперимента по изучению упругого отражения от движущихся препятствий производился выстрел маленьким шариком из небольшой катапульты, установленной на горизонтальной поверхности. Одновременно из точки, в которую по расчетам должен был упасть шарик, с постоянной скоростью начинала движение навстречу массивная вертикальная стенка (рис.). После упругого отражения от стенки шарик падал на некотором расстоянии от катапульты. Затем эксперимент повторяли, изменяя только скорость движения стенки. Оказалось, что в двух экспериментах удар шарика о стенку произошел на одной и той же высоте $h$. Определите эту высоту, если известно, что время полета шарика до отражения в первом случае составило $t_{1} = 1 с$, а во втором $t_{2} = 2 c$. На какую максимальную высоту $H$ поднимался шарик за весь полет? Чему равна начальная скорость шарика v, если расстояние между местами его падения на горизонтальную поверхность в первом и во втором экспериментах составило $L = 9 м$? Определите скорости равномерного движения стенки $u_{1}$ и $u_{2}$ в этих экспериментах и начальное расстояние $s$ между стенкой и катапультой. Считайте $g = 10 м/с^{2}$.
Примечание. В системе отсчета, связанной со стенкой, модули скорости шарика до и после столкновения одинаковы, а угол отражения шарика равен углу падения.
Решение:
Вертикальное перемещение шарика описывается уравнением
$h = v_{в}t - \frac{gt^{2} }{2}$, или $t^{2} - 2 \frac{v_{в} }{g} t + \frac{2h}{g} = 0$,
где $v_{в}$ - проекция начальной скорости на вертикальную ось. По теореме Виета,
$t_{1} + t_{2} = \frac{2v_{в} }{g}$ и $t_{1}t_{2} = \frac{2h}{g}$.
Отсюда находим
$h = \frac{gt_{1}t_{2} }{2} = 10$ м и $v_{в} = \frac{g(t_{1} + t_{2} )}{2} = 15 м/с$.
Заметим, что при отражении от стенки вертикальная составляющая скорости шарика не изменяется, поэтому максимальная высота полета определяется лишь начальной вертикальной скоростью $v_{в}$ и равна
$H = \frac{v_{в}^{2} }{2g} = \frac{g(t_{1} + t_{2} )^{2} }{8} = 11,25 м$.
Горизонтальные перемещения шарика и стенки до момента столкновения связаны соотношениями
$v_{г}t_{2} = u_{1}t_{1}$ и $v_{г}t_{1} = u_{2}t_{2}$,
так как стенка проходит то расстояние, которое «не успевает» пролететь до падения шарик, откуда находим
$u_{1} = v_{г} \frac{t_{2} }{t_{1} }$ и $u_{2} = v_{г} \frac{t_{1} }{t_{2} }$,
где $v_{г}$ - проекция начальной скорости на горизонтальную ось. В момент столкновения шарика со стенкой горизонтальная скорость шарика изменяет свое направление на противоположное и увеличивается на удвоенную скорость стенки (это можно показать, рассмотрев упругий отскок в системе отсчета, в которой стенка покоится). Вертикальная скорость шарика при отражении не изменяется, и дальнейший полет до падения длится столько же времени, как и в отсутствие удара. Тогда проекции перемещения шарика до мест падения равны
$L_{1} = v_{г}t_{1} - (v_{г} + 2u_{1} )t_{2} = v_{г} \left (t_{1} - t_{2} - 2 \frac{t_{2}^{2} }{t_{1} } \right )$,
$L_{2} = v_{г}t_{2} - (v_{г} + 2u_{2} )t_{1} = v_{г} \left (t_{2} - t_{1} - 2 \frac{t_{1}^{2} }{t_{2} } \right )$.
Расстояние между точками падения равно
$L = L_{2} - L_{1} = 2v_{г} \left (t_{2} - t_{1} + \frac{t_{2}^{2} }{t_{1} } - \frac{t_{1}^{2} }{t_{2} } \right )$,
откуда получаем
$v_{г} = \frac{L}{2} \left ( \frac{t_{1}t_{2} }{(t_{1} + t_{2} )^{2} (t_{2} - t_{1} ) } \right ) = 1 м/с$.
Окончательно,
$v = \sqrt{v_{г}^{2} + v_{в}^{2} } \approx 15 м/с$,
$s = v_{г}(t_{1} + t_{2} ) = 3 м$,
$u_{1} = 2 м/с$ и $u_{2} = 0,5 м/с$.
В баллистической лаборатории при проведении эксперимента по изучению упругого отражения от движущихся препятствий производился выстрел маленьким шариком из небольшой катапульты, установленной на горизонтальной поверхности. Одновременно из точки, в которую по расчетам должен был упасть шарик, с постоянной скоростью начинала движение навстречу массивная вертикальная стенка (рис.). После упругого отражения от стенки шарик падал на некотором расстоянии от катапульты. Затем эксперимент повторяли, изменяя только скорость движения стенки. Оказалось, что в двух экспериментах удар шарика о стенку произошел на одной и той же высоте $h$. Определите эту высоту, если известно, что время полета шарика до отражения в первом случае составило $t_{1} = 1 с$, а во втором $t_{2} = 2 c$. На какую максимальную высоту $H$ поднимался шарик за весь полет? Чему равна начальная скорость шарика v, если расстояние между местами его падения на горизонтальную поверхность в первом и во втором экспериментах составило $L = 9 м$? Определите скорости равномерного движения стенки $u_{1}$ и $u_{2}$ в этих экспериментах и начальное расстояние $s$ между стенкой и катапультой. Считайте $g = 10 м/с^{2}$.
Примечание. В системе отсчета, связанной со стенкой, модули скорости шарика до и после столкновения одинаковы, а угол отражения шарика равен углу падения.
Решение:
Вертикальное перемещение шарика описывается уравнением
$h = v_{в}t - \frac{gt^{2} }{2}$, или $t^{2} - 2 \frac{v_{в} }{g} t + \frac{2h}{g} = 0$,
где $v_{в}$ - проекция начальной скорости на вертикальную ось. По теореме Виета,
$t_{1} + t_{2} = \frac{2v_{в} }{g}$ и $t_{1}t_{2} = \frac{2h}{g}$.
Отсюда находим
$h = \frac{gt_{1}t_{2} }{2} = 10$ м и $v_{в} = \frac{g(t_{1} + t_{2} )}{2} = 15 м/с$.
Заметим, что при отражении от стенки вертикальная составляющая скорости шарика не изменяется, поэтому максимальная высота полета определяется лишь начальной вертикальной скоростью $v_{в}$ и равна
$H = \frac{v_{в}^{2} }{2g} = \frac{g(t_{1} + t_{2} )^{2} }{8} = 11,25 м$.
Горизонтальные перемещения шарика и стенки до момента столкновения связаны соотношениями
$v_{г}t_{2} = u_{1}t_{1}$ и $v_{г}t_{1} = u_{2}t_{2}$,
так как стенка проходит то расстояние, которое «не успевает» пролететь до падения шарик, откуда находим
$u_{1} = v_{г} \frac{t_{2} }{t_{1} }$ и $u_{2} = v_{г} \frac{t_{1} }{t_{2} }$,
где $v_{г}$ - проекция начальной скорости на горизонтальную ось. В момент столкновения шарика со стенкой горизонтальная скорость шарика изменяет свое направление на противоположное и увеличивается на удвоенную скорость стенки (это можно показать, рассмотрев упругий отскок в системе отсчета, в которой стенка покоится). Вертикальная скорость шарика при отражении не изменяется, и дальнейший полет до падения длится столько же времени, как и в отсутствие удара. Тогда проекции перемещения шарика до мест падения равны
$L_{1} = v_{г}t_{1} - (v_{г} + 2u_{1} )t_{2} = v_{г} \left (t_{1} - t_{2} - 2 \frac{t_{2}^{2} }{t_{1} } \right )$,
$L_{2} = v_{г}t_{2} - (v_{г} + 2u_{2} )t_{1} = v_{г} \left (t_{2} - t_{1} - 2 \frac{t_{1}^{2} }{t_{2} } \right )$.
Расстояние между точками падения равно
$L = L_{2} - L_{1} = 2v_{г} \left (t_{2} - t_{1} + \frac{t_{2}^{2} }{t_{1} } - \frac{t_{1}^{2} }{t_{2} } \right )$,
откуда получаем
$v_{г} = \frac{L}{2} \left ( \frac{t_{1}t_{2} }{(t_{1} + t_{2} )^{2} (t_{2} - t_{1} ) } \right ) = 1 м/с$.
Окончательно,
$v = \sqrt{v_{г}^{2} + v_{в}^{2} } \approx 15 м/с$,
$s = v_{г}(t_{1} + t_{2} ) = 3 м$,
$u_{1} = 2 м/с$ и $u_{2} = 0,5 м/с$.
