2016-11-19
При взвешивании тела массой $m$ на пружинных весах, их показания на полюсе и экваторе планеты отличаются на $\Delta P$. Радиус планеты $R$. Определить угловую скорость вращения планеты вокруг своей оси.
Решение:
В условии описаны две ситуации, следовательно необходимо дважды записать закон Ньютона.
В случае взвешивания тела на экваторе в проекции на ось х получаем:
$F_{э} - N_{э} = ma$, (1)
где $F_{э}$ — сила притяжения массы планетой на экваторе, $N_{э}$ — сила реакции опоры со стороны подставки весов, ускорение тела
$a = \omega^{2} R$. (2)
Аналогичное соотношение запишем для случая взвешивания тела на полюсе, учитывая, что ускорение центра масс тела здесь равно 0:
$F_{п} - N_{п} = 0$. (3)
Согласно третьему закону Ньютона:
$P_{э} = N_{э}$, (4)
$P_{п} = N_{п}$, (5)
где $P_{э}$ — вес тела (сила, с которой тело действует на подставку весов) на экваторе, $P_{п}$ — на полюсе.
Очевидно, что на основании закона всемирного тяготения:
$F_{э} = F_{п}$(6)
(в принципе, следовало бы дважды записать закон всемирного тяготения для $F_{э}$ и $F_{п}$).
По условию задачи
$P_{э} - P_{п} = \Delta P$. (7)
Итак, имеем систему из 7 уравнений с 7 неизвестными. Ее решение не представляет затруднений:
$\omega = \sqrt{ \frac{ \Delta P}{mR}}$.