ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-04-05   
Модель автомобиля, едущая со скоростью $v_{0}$, в некоторый момент начинает движение с таким постоянным ускорением, что за время $\tau$ пройденный ею путь $s$ оказывается минимальным. Определите этот путь $s$.


Решение:


Чтобы путь, пройденный за время $\tau$, был минимальным, автомобиль должен сначала тормозиться, до полной остановки, а затем разгоняться в обратном направлении. Пройденный путь равен

$s = \frac{v_{0}t_{1} }{2} + \frac{v_{0}}{t_{1} } \frac{( \tau - t_{1} )^{2} }{2} = \frac{v_{0} }{2} \left ( t_{1} + \frac{( \tau - t_{1} )^{2} }{t_{1} } \right )$.

Преобразуем это выражение к виду

$\frac{2st_{1} }{v_{0} } = t_{1}^{2} + ( \tau - t_{1} )^{2}$, или $t_{1}^{2} - \left ( \tau + \frac{s}{v_{0} } \right ) t_{1} + \frac{ \tau^{2} }{2} = 0$.

Дискриминант этого квадратного относительно $t_{1}$ уравнения равен

$\left ( \tau + \frac{s}{v_{0} } \right )^{2} - ( \sqrt{2} t )^{2} = \left ( \tau + \frac{s}{v_{0} } - \sqrt{2} \tau \right ) \left ( \tau + \frac{s}{v_{0} } + \sqrt{2} \tau \right )$.

Из анализа первого сомножителя находим, что путь, пройденный за время $\tau$, минимален при условии

$s = ( \sqrt{2} - 1) \tau v_{0}$.