Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13938
2020-04-04 
Вдоль главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $F$ ползет с постоянным ускорением $a$ маленький жучок, в начальный момент времени покоившийся в оптическом центре линзы. С какой скоростью $v$ и с каким ускорением $w$ движется изображение жучка в тот момент, когда расстояние между жучком и его действительным изображением минимально?
Решение:
Пусть $x$ и $y$ - расстояния от линзы до жучка и его изображения соответственно, тогда из формулы тонкой линзы
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{F}$
находим
$y = \frac{xF}{x - F}$.
Выразим первую и вторую производные $y(x)$ по времени:
$y^{ \prime} = \frac{ x^{ \prime} F^{2}}{(x - F)^{2} }, y^{ \prime \prime} = \frac{F^{2} (2x^{ \prime} - x^{ \prime \prime} (x - F))}{(x - F)^{3} }$.
Расстояние между предметом и изображением и скорость их удаления друг от друга равны, соответственно,
$l = x + y$ и $l^{ \prime} = x^{ \prime} \left ( 1 - \frac{F^{2}}{(x - F)^{2} } \right )$.
Действительное изображение наблюдается при $x > F$, причем $l$ растет и стремится к бесконечности при приближении к любой из границ промежутка $(F; + \infty)$, значит, на этом интервале должен быть хотя бы один минимум. Из условия нулевой относительной скорости ($l^{ \prime} = 0$) находим положение единственного экстремума в нужной области: $x = 2F$. Скорость $u$ жучка в этой точке найдем из формулы для равноускоренного движения: $u = 2 \sqrt{aF}$. В результате получаем
$|v| = 2 \sqrt{aF}$ и $|w| = 7a$.
Известно, что расстояние между предметом и изображением минимально при симметричном ходе лучей, когда предмет и изображение находятся в так называемых двойных фокусах ($x = y = 2F$). Из симметрии же формулы тонкой линзы относительно перестановки $x$ и $y$ можно было сразу понять, что скорости предмета и изображения будут одинаковы при $x = y$. Таким образом, единственный нетривиальный вопрос задачи - про ускорение.
Вдоль главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $F$ ползет с постоянным ускорением $a$ маленький жучок, в начальный момент времени покоившийся в оптическом центре линзы. С какой скоростью $v$ и с каким ускорением $w$ движется изображение жучка в тот момент, когда расстояние между жучком и его действительным изображением минимально?
Решение:
Пусть $x$ и $y$ - расстояния от линзы до жучка и его изображения соответственно, тогда из формулы тонкой линзы
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{F}$
находим
$y = \frac{xF}{x - F}$.
Выразим первую и вторую производные $y(x)$ по времени:
$y^{ \prime} = \frac{ x^{ \prime} F^{2}}{(x - F)^{2} }, y^{ \prime \prime} = \frac{F^{2} (2x^{ \prime} - x^{ \prime \prime} (x - F))}{(x - F)^{3} }$.
Расстояние между предметом и изображением и скорость их удаления друг от друга равны, соответственно,
$l = x + y$ и $l^{ \prime} = x^{ \prime} \left ( 1 - \frac{F^{2}}{(x - F)^{2} } \right )$.
Действительное изображение наблюдается при $x > F$, причем $l$ растет и стремится к бесконечности при приближении к любой из границ промежутка $(F; + \infty)$, значит, на этом интервале должен быть хотя бы один минимум. Из условия нулевой относительной скорости ($l^{ \prime} = 0$) находим положение единственного экстремума в нужной области: $x = 2F$. Скорость $u$ жучка в этой точке найдем из формулы для равноускоренного движения: $u = 2 \sqrt{aF}$. В результате получаем
$|v| = 2 \sqrt{aF}$ и $|w| = 7a$.
Известно, что расстояние между предметом и изображением минимально при симметричном ходе лучей, когда предмет и изображение находятся в так называемых двойных фокусах ($x = y = 2F$). Из симметрии же формулы тонкой линзы относительно перестановки $x$ и $y$ можно было сразу понять, что скорости предмета и изображения будут одинаковы при $x = y$. Таким образом, единственный нетривиальный вопрос задачи - про ускорение.
