Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13937
2020-04-04 
В идеальном колебательном контуре, состоящем из плоского конденсатора и катушки индуктивности, происходят собственные незатухающие колебания. Пластины конденсатора равномерно и очень медленно раздвинули так, что частота колебаний увеличилась в $n$ раз. Во сколько раз изменилась при этом энергия колебаний?
Решение:
Пусть $S$ - площадь пластин конденсатора, $q$ - заряд конденсатора. Тогда напряженность $E$ электрического поля, создаваемого одной пластиной, и силу $F$ взаимодействия пластин можно записать в виде
$E = \frac{q}{2 \epsilon_{0}S }$ и $F = qE = \frac{q^{2} }{2 \epsilon_{0}S }$.
Поскольку пластины раздвигали медленно, можно считать, что в течение одного периода колебаний $T$ амплитуда $Q$ колебаний заряда, циклическая частота $\omega$ и начальная фаза $\phi$ неизменны, а зависимость заряда конденсатора от времени задается формулой
$q = Q \sin ( \omega t + \phi )$.
Вычислим среднюю за период силу взаимодействия пластин:
$F_{ср} = \frac{ \left \langle q^{2} \right \rangle }{2 \epsilon_{0}S } = \frac{1}{2 \epsilon_{0}S } \frac{1}{T} \int_{0}^{T} q^{2}dt = \frac{Q^{2} }{2 \epsilon_{0}ST } \int_{0}^{T} \sin^{2} ( \omega t + \phi ) dt = \frac{Q^{2} }{2 \epsilon_{0}ST } \left . \left ( \frac{t}{2} - \frac{ \sin(2( \omega t + \phi) ) }{4 \omega } \right ) \right |_{0}^{T} = \frac{Q^{2} }{2 \epsilon_{0}ST } \frac{T}{2} = \frac{Q^{2} }{4 \epsilon_{0}S }$.
Пусть $x$ - расстояние между пластинами, тогда элементарная работа внешних сил при раздвигании пластин на $dx$ будет равна
$dA = F_{ср} dx = \frac{Q^{2}dx }{4 \epsilon_{0}S }$.
Используя для емкости плоского конденсатора формулу $C = \frac{ \epsilon_{0} S}{x}$, выразим изменение энергии колебаний при том же раздвигании пластин:
$dW = d \left ( \frac{Q^{2}}{2C} \right ) = d \left ( \frac{Q^{2}x }{2 \epsilon_{0}x } \right ) = \frac{2QxdQ +Q^{2}dx }{2 \epsilon_{0}S } = \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S } (2x dQ + Qdx)$.
Согласно закону изменения энергии $dW = dA$, запишем
$\frac{Q}{ 2 \epsilon_{0}S } (2xdQ + Qdx ) = \frac{Q^{2} dx}{4 \epsilon_{0}S }$,
откуда после упрощения, интегрирования и потенцирования получим
$4 \frac{dQ}{Q} + \frac{dx}{x} = 0, 4lnQ + ln x = const, Q^{4}x = const$.
Величина $Q^{4}x$ является адиабатическим инвариантом, т.е. не изменяется при медленных изменениях других параметров системы. Адиабатические инварианты встречаются в самых разных областях, например в курсе теоретической механики и вычислительной математики.
По условию задачи частота колебаний увеличилась в $n$ раз, значит (согласно формуле $\omega = \frac{1}{ \sqrt{LC}}$), емкость $C$ уменьшилась в $n^{2}$ раз, (согласно выражению $C = \frac{ \epsilon_{0} S}{x}$) расстояние $x$ увеличилось в $n^{2}$ раз, (согласно инварианту $Q^{4}x = const$) амплитуда $Q$ уменьшилась в $\sqrt{n}$ раз, (согласно формуле $W = \frac{Q^{2}}{2C}$ ) энергия $W$ увеличилась в $n$ раз.
Таким образом, искомая энергия колебаний увеличилась в n раз, т.е. так же, как частота колебаний.
В идеальном колебательном контуре, состоящем из плоского конденсатора и катушки индуктивности, происходят собственные незатухающие колебания. Пластины конденсатора равномерно и очень медленно раздвинули так, что частота колебаний увеличилась в $n$ раз. Во сколько раз изменилась при этом энергия колебаний?
Решение:
Пусть $S$ - площадь пластин конденсатора, $q$ - заряд конденсатора. Тогда напряженность $E$ электрического поля, создаваемого одной пластиной, и силу $F$ взаимодействия пластин можно записать в виде
$E = \frac{q}{2 \epsilon_{0}S }$ и $F = qE = \frac{q^{2} }{2 \epsilon_{0}S }$.
Поскольку пластины раздвигали медленно, можно считать, что в течение одного периода колебаний $T$ амплитуда $Q$ колебаний заряда, циклическая частота $\omega$ и начальная фаза $\phi$ неизменны, а зависимость заряда конденсатора от времени задается формулой
$q = Q \sin ( \omega t + \phi )$.
Вычислим среднюю за период силу взаимодействия пластин:
$F_{ср} = \frac{ \left \langle q^{2} \right \rangle }{2 \epsilon_{0}S } = \frac{1}{2 \epsilon_{0}S } \frac{1}{T} \int_{0}^{T} q^{2}dt = \frac{Q^{2} }{2 \epsilon_{0}ST } \int_{0}^{T} \sin^{2} ( \omega t + \phi ) dt = \frac{Q^{2} }{2 \epsilon_{0}ST } \left . \left ( \frac{t}{2} - \frac{ \sin(2( \omega t + \phi) ) }{4 \omega } \right ) \right |_{0}^{T} = \frac{Q^{2} }{2 \epsilon_{0}ST } \frac{T}{2} = \frac{Q^{2} }{4 \epsilon_{0}S }$.
Пусть $x$ - расстояние между пластинами, тогда элементарная работа внешних сил при раздвигании пластин на $dx$ будет равна
$dA = F_{ср} dx = \frac{Q^{2}dx }{4 \epsilon_{0}S }$.
Используя для емкости плоского конденсатора формулу $C = \frac{ \epsilon_{0} S}{x}$, выразим изменение энергии колебаний при том же раздвигании пластин:
$dW = d \left ( \frac{Q^{2}}{2C} \right ) = d \left ( \frac{Q^{2}x }{2 \epsilon_{0}x } \right ) = \frac{2QxdQ +Q^{2}dx }{2 \epsilon_{0}S } = \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S } (2x dQ + Qdx)$.
Согласно закону изменения энергии $dW = dA$, запишем
$\frac{Q}{ 2 \epsilon_{0}S } (2xdQ + Qdx ) = \frac{Q^{2} dx}{4 \epsilon_{0}S }$,
откуда после упрощения, интегрирования и потенцирования получим
$4 \frac{dQ}{Q} + \frac{dx}{x} = 0, 4lnQ + ln x = const, Q^{4}x = const$.
Величина $Q^{4}x$ является адиабатическим инвариантом, т.е. не изменяется при медленных изменениях других параметров системы. Адиабатические инварианты встречаются в самых разных областях, например в курсе теоретической механики и вычислительной математики.
По условию задачи частота колебаний увеличилась в $n$ раз, значит (согласно формуле $\omega = \frac{1}{ \sqrt{LC}}$), емкость $C$ уменьшилась в $n^{2}$ раз, (согласно выражению $C = \frac{ \epsilon_{0} S}{x}$) расстояние $x$ увеличилось в $n^{2}$ раз, (согласно инварианту $Q^{4}x = const$) амплитуда $Q$ уменьшилась в $\sqrt{n}$ раз, (согласно формуле $W = \frac{Q^{2}}{2C}$ ) энергия $W$ увеличилась в $n$ раз.
Таким образом, искомая энергия колебаний увеличилась в n раз, т.е. так же, как частота колебаний.
