Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13936
2020-04-04 
В двух горизонтальных цилиндрических сосудах площадью поперечного сечения $S = 1 см^{2}$ и объемом $V = 1 л$ каждый при одинаковых давлении $p = 10 Па$ и температуре $T = 300 К$ находятся различные газы: в первом - аргон $_{18}^{40}Ar$, а во втором - этан $C_{2}D_{2}T_{4}$. С одного из торцов в каждый сосуд вводят небольшое количество тех же газов, но с другим изотопным составом молекул: в первый - аргон $_{18}^{36} Ar$, а во второй - этан $C_{2}D_{6}$. Через некоторые промежутки времени $t_{1}$ и $t_{2}$ вблизи противоположных торцов соответствующих сосудов будет достигнута концентрация примесных молекул, равная половине от той, которая установится через очень большое время.
1) Найдите отношение $\frac{t_{1}}{t_{2}}$.
2) Оцените по порядку величины значение $t_{1}$.
Молярные массы углерода и тяжелых изотопов водорода (дейтерия и трития) известны: $M_{C} = 12 г/моль , M_{D} = 2 г/моль , M_{T} = 3 г/моль$. Плотности аргона и этана в жидком состоянии при низких температурах равны $\rho_{1} = 1400 кг/м^{3}$ и $\rho_{2} = 750 кг/м^{3}$ соответственно.
Решение:
Чтобы оценить $t_{1}$ и $t_{2}$, заменим аргон и этан на произвольный газ, имеющий молярную массу $M$ и плотность $\rho$ в жидком состоянии при низких температурах. Будем считать молекулы газа кубиками с ребром $d$, которые в жидком состоянии уложены максимально плотно. Тогда из формулы $M = d^{3} \rho N_{A}$, где $N_{A}$ - число Авогадро, находим
$d = \sqrt[3]{ \frac{M}{ \rho N_{A} }}$.
Концентрацию $n$ и длину свободного пробега молекул газа $\lambda$ можно представить в виде
$n = \frac{p}{kT}, \lambda = \frac{1}{nd^{2}} = \frac{kT}{ p} \left ( \frac{ \rho N_{A} }{M} \right )^{2/3}$,
где $k$ - постоянная Больцмана. Пусть $x_{i}$ - модуль перемещения примесной молекулы после $i$ соударений, $\phi$ - угол отклонения при очередном соударении. Тогда по теореме косинусов можно записать
$x_{i+1}^{2} = x_{i}^{2} + \lambda^{2} + 2x_{i} \lambda \cos \phi$,
где предполагается, что длина свободного пробега примесных молекул тоже равна $\lambda$. После усреднения этого выражения по всевозможным углам $\phi$ получаем
$\left \langle x_{i + 1}^{2} \right \rangle = \left \langle x_{i}^{2} \right \rangle + \lambda^{2} = (i + 1) \lambda^{2}$.
Средняя скорость молекул газа (без учета числового коэффициента) имеет вид
$v = \sqrt{ \frac{RT}{M}}$,
где $R$ - универсальная газовая постоянная. За некоторое время $t$ примесная молекула пройдет путь $L = i \lambda = vt$ и сместится на среднее расстояние
$x = \sqrt{ \left \langle x_{i}^{2} \right \rangle } = \sqrt{ \lambda vt }$.
Искомое время $t$ по порядку величины равно времени, которое требуется примесной молекуле для смещения от одного торца цилиндра до другого, т.е. на расстояние $x = \frac{V}{S}$. Таким образом, из записанных выше выражений получаем
$t = \frac{x^{2} }{ \lambda v} = \frac{V^{2} }{S^{2}} \frac{p}{kT} \left ( \frac{M}{ \rho N_{A} } \right )^{2/3} \sqrt{ \frac{M}{RT} }$.
1) Аргон и этан с рассматриваемым изотопным составом молекул имеют одинаковую молярную массу $M$, поэтому в искомом отношении $\frac{t_{1}}{t_{2}}$ остаются только плотности:
$\frac{t_{1}}{t_{2} } = \left ( \frac{ \rho_{2} }{ \rho_{1} } \right )^{2/3} = 0,66$.
2) Оценка времени $t_{1}$ дает
$t_{1} = \frac{V^{2}}{S^{2} } \frac{p}{kT} \left ( \frac{M}{ \rho_{1} N_{A} } \right )^{2/3} \sqrt{ \frac{M}{RT}} = 125 c \sim 10^{2} c$.
В двух горизонтальных цилиндрических сосудах площадью поперечного сечения $S = 1 см^{2}$ и объемом $V = 1 л$ каждый при одинаковых давлении $p = 10 Па$ и температуре $T = 300 К$ находятся различные газы: в первом - аргон $_{18}^{40}Ar$, а во втором - этан $C_{2}D_{2}T_{4}$. С одного из торцов в каждый сосуд вводят небольшое количество тех же газов, но с другим изотопным составом молекул: в первый - аргон $_{18}^{36} Ar$, а во второй - этан $C_{2}D_{6}$. Через некоторые промежутки времени $t_{1}$ и $t_{2}$ вблизи противоположных торцов соответствующих сосудов будет достигнута концентрация примесных молекул, равная половине от той, которая установится через очень большое время.
1) Найдите отношение $\frac{t_{1}}{t_{2}}$.
2) Оцените по порядку величины значение $t_{1}$.
Молярные массы углерода и тяжелых изотопов водорода (дейтерия и трития) известны: $M_{C} = 12 г/моль , M_{D} = 2 г/моль , M_{T} = 3 г/моль$. Плотности аргона и этана в жидком состоянии при низких температурах равны $\rho_{1} = 1400 кг/м^{3}$ и $\rho_{2} = 750 кг/м^{3}$ соответственно.
Решение:
Чтобы оценить $t_{1}$ и $t_{2}$, заменим аргон и этан на произвольный газ, имеющий молярную массу $M$ и плотность $\rho$ в жидком состоянии при низких температурах. Будем считать молекулы газа кубиками с ребром $d$, которые в жидком состоянии уложены максимально плотно. Тогда из формулы $M = d^{3} \rho N_{A}$, где $N_{A}$ - число Авогадро, находим
$d = \sqrt[3]{ \frac{M}{ \rho N_{A} }}$.
Концентрацию $n$ и длину свободного пробега молекул газа $\lambda$ можно представить в виде
$n = \frac{p}{kT}, \lambda = \frac{1}{nd^{2}} = \frac{kT}{ p} \left ( \frac{ \rho N_{A} }{M} \right )^{2/3}$,
где $k$ - постоянная Больцмана. Пусть $x_{i}$ - модуль перемещения примесной молекулы после $i$ соударений, $\phi$ - угол отклонения при очередном соударении. Тогда по теореме косинусов можно записать
$x_{i+1}^{2} = x_{i}^{2} + \lambda^{2} + 2x_{i} \lambda \cos \phi$,
где предполагается, что длина свободного пробега примесных молекул тоже равна $\lambda$. После усреднения этого выражения по всевозможным углам $\phi$ получаем
$\left \langle x_{i + 1}^{2} \right \rangle = \left \langle x_{i}^{2} \right \rangle + \lambda^{2} = (i + 1) \lambda^{2}$.
Средняя скорость молекул газа (без учета числового коэффициента) имеет вид
$v = \sqrt{ \frac{RT}{M}}$,
где $R$ - универсальная газовая постоянная. За некоторое время $t$ примесная молекула пройдет путь $L = i \lambda = vt$ и сместится на среднее расстояние
$x = \sqrt{ \left \langle x_{i}^{2} \right \rangle } = \sqrt{ \lambda vt }$.
Искомое время $t$ по порядку величины равно времени, которое требуется примесной молекуле для смещения от одного торца цилиндра до другого, т.е. на расстояние $x = \frac{V}{S}$. Таким образом, из записанных выше выражений получаем
$t = \frac{x^{2} }{ \lambda v} = \frac{V^{2} }{S^{2}} \frac{p}{kT} \left ( \frac{M}{ \rho N_{A} } \right )^{2/3} \sqrt{ \frac{M}{RT} }$.
1) Аргон и этан с рассматриваемым изотопным составом молекул имеют одинаковую молярную массу $M$, поэтому в искомом отношении $\frac{t_{1}}{t_{2}}$ остаются только плотности:
$\frac{t_{1}}{t_{2} } = \left ( \frac{ \rho_{2} }{ \rho_{1} } \right )^{2/3} = 0,66$.
2) Оценка времени $t_{1}$ дает
$t_{1} = \frac{V^{2}}{S^{2} } \frac{p}{kT} \left ( \frac{M}{ \rho_{1} N_{A} } \right )^{2/3} \sqrt{ \frac{M}{RT}} = 125 c \sim 10^{2} c$.
