Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13935
2020-04-04 
В пустую цилиндрическую бочку массой $m = 5 кг$ и высотой $H = 1 м$ наливают мед с постоянным расходом $\mu = 80 г/с$. Бочка имеет толстые однородные стенки, легкое тонкое дно и может вместить в себя до $M = 40 кг$ меда.
1) Найдите скорость $v_{0}$ центра масс системы "бочка-мед" сразу после начала заполнения.
2) Через какое время $t_{0}$ от начала заполнения скорость этого центра масс окажется минимальной по модулю?
Решение:
Выразив массу меда в бочке двумя способами - через его уровень $h$ и через момент времени $t$ - и приравняв эти выражения, получаем связь между $h$ и $t$:
$M \frac{h}{t} = \mu t$.
Высота $x$ центра масс системы "бочка-мед" над уровнем дна равна
$x = \frac{mH^{2} + 2Mh^{2} }{2(mH + Mh)}$.
После дифференцирования и упрощения получаем
$x^{ \prime}(h) = \frac{M^{2}h^{2} + 2MmHh - MmH^{2}}{2(mH + Mh)^{2} }$.
1) Рассмотрим малый промежуток времени $\Delta t$ сразу после начала заполнения бочки. Тогда из приведенных выше соотношений получаем
$\Delta h = \frac{ \mu H}{M} \Delta t$,
$\frac{ \Delta x}{ \Delta h} = x^{ \prime}(0) = - \frac{M}{2m}$.
Отсюда находим искомую начальную скорость:
$v_{0} = \left | \frac{ \Delta x}{ \Delta t} \right | = \frac{ \mu H}{2m} = 8 мм/с$.
2) Очевидно, что высоты центров масс пустой бочки и полной бочки с медом одинаковы и равны $H/2$, а в случае частичного заполнения высота меньше $H/2$. Поэтому существует минимальное значение $x$, при котором скорость центра масс обращается в ноль, т.е. заведомо минимальна по модулю. Для поиска экстремума $x(h)$ приравняем производную $x(h)$ к нулю и придем к уравнению
$Mh^{2} + 2mHh - mH^{2} = 0$,
которое имеет единственный положительный корень
$h = \frac{m}{M} \left ( \sqrt{1 + \frac{M}{m} } - 1 \right ) H$.
Такому уровню меда в бочке соответствует время
$t_{0} = \frac{Mh}{ \mu H} = \frac{m}{ \mu} \left ( \sqrt{1 + \frac{M}{m}} - 1 \right ) = 125 с$.
В пустую цилиндрическую бочку массой $m = 5 кг$ и высотой $H = 1 м$ наливают мед с постоянным расходом $\mu = 80 г/с$. Бочка имеет толстые однородные стенки, легкое тонкое дно и может вместить в себя до $M = 40 кг$ меда.
1) Найдите скорость $v_{0}$ центра масс системы "бочка-мед" сразу после начала заполнения.
2) Через какое время $t_{0}$ от начала заполнения скорость этого центра масс окажется минимальной по модулю?
Решение:
Выразив массу меда в бочке двумя способами - через его уровень $h$ и через момент времени $t$ - и приравняв эти выражения, получаем связь между $h$ и $t$:
$M \frac{h}{t} = \mu t$.
Высота $x$ центра масс системы "бочка-мед" над уровнем дна равна
$x = \frac{mH^{2} + 2Mh^{2} }{2(mH + Mh)}$.
После дифференцирования и упрощения получаем
$x^{ \prime}(h) = \frac{M^{2}h^{2} + 2MmHh - MmH^{2}}{2(mH + Mh)^{2} }$.
1) Рассмотрим малый промежуток времени $\Delta t$ сразу после начала заполнения бочки. Тогда из приведенных выше соотношений получаем
$\Delta h = \frac{ \mu H}{M} \Delta t$,
$\frac{ \Delta x}{ \Delta h} = x^{ \prime}(0) = - \frac{M}{2m}$.
Отсюда находим искомую начальную скорость:
$v_{0} = \left | \frac{ \Delta x}{ \Delta t} \right | = \frac{ \mu H}{2m} = 8 мм/с$.
2) Очевидно, что высоты центров масс пустой бочки и полной бочки с медом одинаковы и равны $H/2$, а в случае частичного заполнения высота меньше $H/2$. Поэтому существует минимальное значение $x$, при котором скорость центра масс обращается в ноль, т.е. заведомо минимальна по модулю. Для поиска экстремума $x(h)$ приравняем производную $x(h)$ к нулю и придем к уравнению
$Mh^{2} + 2mHh - mH^{2} = 0$,
которое имеет единственный положительный корень
$h = \frac{m}{M} \left ( \sqrt{1 + \frac{M}{m} } - 1 \right ) H$.
Такому уровню меда в бочке соответствует время
$t_{0} = \frac{Mh}{ \mu H} = \frac{m}{ \mu} \left ( \sqrt{1 + \frac{M}{m}} - 1 \right ) = 125 с$.
