Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13934
2020-04-04 
Очень тонкую плоскую квадратную пластинку со стороной $L$ привели одной стороной в соприкосновение с покоящейся жидкостью, до краев заполняющей широкий цилиндрический сосуд с радиусом внутреннего сечения $R$, и удерживают пластинку неподвижной так, что она находится в вертикальной плоскости (рис.). Жидкость имеет коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$ и плотность $\rho$, смачивает эту пластинку, причем угол смачивания $\phi < \frac{ \pi}{2}$. На сколько понизился уровень жидкости в сосуде? На сколько верхний край мениска жидкости на пластинке выше уровня жидкости в сосуде?
Решение:
Так как пластинка тонкая и плоская, площадь поверхности жидкости в сосуде во много раз больше изменения этой площади, возникшего вследствие образования мениска. Объемом пластинки, погруженным в жидкость, поскольку пластинка очень тонкая, можно пренебречь.
Найдем массу жидкости, которая составляет мениск и находится выше плоского уровня жидкости в сосуде. Сила поверхностного натяжения, действующая на жидкость вдоль линии верхней границы мениска, имеет вертикальную составляющую, равную $F_{в} = 2L \sigma \cos \phi$. Эта сила "приподняла" над плоским уровнем жидкость массой $m = \frac{F_{в} }{g}$ и объемом $V = \frac{m}{ \rho}$. Следовательно, уровень жидкости в сосуде понизился на
$\Delta H = \frac{V}{ \pi R^{2} } = \frac{2L \sigma \cos \phi}{ \pi R^{2} \rho g }$.
Для нахождения высоты $H$, на которую "взобралась" на пластину жидкость, составляющая мениск, рассмотрим условие равновесия жидкости. Сумма всех сил, действующих на эту жидкость, равна нулю, поэтому сумма проекций всех сил на горизонтальное направление тоже равна нулю. Выделим мысленно участок мениска длиной $\lambda < L$ и уравновесим горизонтальные составляющие действующих на него сил:
$\sigma \lambda (1 - \sin \phi ) = \frac{ \lambda \rho g H^{2} }{2}$.
Отсюда находим
$H = \sqrt{ \frac{2 \sigma (1 - \sin \phi) }{ \rho g} }$.
А теперь вернемся к началу статьи. На фотографии, приведенной на рисунке внизу, на вертикальной поверхности стекла находятся капли воды. Кривизна $G_{н}$ поверхности каждой капли в самой ее нижней точке больше кривизны поверхности $G_{в}$ вблизи самой верхней точки этой капли:
$G_{н} - G_{в} = \frac{ \rho gH}{ \sigma }$,
где $H$ - разность высот верхней и нижней частей капли. Если поверхность стекла не вертикальна, а составляет некий угол $\gamma$ с горизонтом, то форма капли в поперечном вертикальном сечении качественно показана на рисунке. Видно, что углы $\alpha$ и $\beta$ не одинаковы и не обязаны совпадать с равновесным углом смачивания $\phi$. Одно из объяснений, почему это происходит, кроется на микро- или даже на наноуровне. Поверхность твердого тела не бывает идеально гладкой. Она всегда содержит многочисленные дефекты: выступы и впадины, царапины и участки веществ, отличных от основного компонента твердого тела. Характерные размеры дефектов значительно больше размеров молекул жидкости ($\sim 10^{-10} м$), и в то же время они могут быть значительно меньше длин волн, которые попадают в видимый диапазон ($\sim 5 \cdot 10^{-7} м$). Иными словами, "на глаз" такая поверхность выглядит абсолютно гладкой, а для жидкости она шершавая. Это тот самый диапазон размеров ($10^{-9} - 10^{-7} м$), в котором сейчас развиваются нанотехнологии.
Очень тонкую плоскую квадратную пластинку со стороной $L$ привели одной стороной в соприкосновение с покоящейся жидкостью, до краев заполняющей широкий цилиндрический сосуд с радиусом внутреннего сечения $R$, и удерживают пластинку неподвижной так, что она находится в вертикальной плоскости (рис.). Жидкость имеет коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$ и плотность $\rho$, смачивает эту пластинку, причем угол смачивания $\phi < \frac{ \pi}{2}$. На сколько понизился уровень жидкости в сосуде? На сколько верхний край мениска жидкости на пластинке выше уровня жидкости в сосуде?
Решение:
Так как пластинка тонкая и плоская, площадь поверхности жидкости в сосуде во много раз больше изменения этой площади, возникшего вследствие образования мениска. Объемом пластинки, погруженным в жидкость, поскольку пластинка очень тонкая, можно пренебречь.
Найдем массу жидкости, которая составляет мениск и находится выше плоского уровня жидкости в сосуде. Сила поверхностного натяжения, действующая на жидкость вдоль линии верхней границы мениска, имеет вертикальную составляющую, равную $F_{в} = 2L \sigma \cos \phi$. Эта сила "приподняла" над плоским уровнем жидкость массой $m = \frac{F_{в} }{g}$ и объемом $V = \frac{m}{ \rho}$. Следовательно, уровень жидкости в сосуде понизился на
$\Delta H = \frac{V}{ \pi R^{2} } = \frac{2L \sigma \cos \phi}{ \pi R^{2} \rho g }$.
Для нахождения высоты $H$, на которую "взобралась" на пластину жидкость, составляющая мениск, рассмотрим условие равновесия жидкости. Сумма всех сил, действующих на эту жидкость, равна нулю, поэтому сумма проекций всех сил на горизонтальное направление тоже равна нулю. Выделим мысленно участок мениска длиной $\lambda < L$ и уравновесим горизонтальные составляющие действующих на него сил:
$\sigma \lambda (1 - \sin \phi ) = \frac{ \lambda \rho g H^{2} }{2}$.
Отсюда находим
$H = \sqrt{ \frac{2 \sigma (1 - \sin \phi) }{ \rho g} }$.
А теперь вернемся к началу статьи. На фотографии, приведенной на рисунке внизу, на вертикальной поверхности стекла находятся капли воды. Кривизна $G_{н}$ поверхности каждой капли в самой ее нижней точке больше кривизны поверхности $G_{в}$ вблизи самой верхней точки этой капли:
$G_{н} - G_{в} = \frac{ \rho gH}{ \sigma }$,
где $H$ - разность высот верхней и нижней частей капли. Если поверхность стекла не вертикальна, а составляет некий угол $\gamma$ с горизонтом, то форма капли в поперечном вертикальном сечении качественно показана на рисунке. Видно, что углы $\alpha$ и $\beta$ не одинаковы и не обязаны совпадать с равновесным углом смачивания $\phi$. Одно из объяснений, почему это происходит, кроется на микро- или даже на наноуровне. Поверхность твердого тела не бывает идеально гладкой. Она всегда содержит многочисленные дефекты: выступы и впадины, царапины и участки веществ, отличных от основного компонента твердого тела. Характерные размеры дефектов значительно больше размеров молекул жидкости ($\sim 10^{-10} м$), и в то же время они могут быть значительно меньше длин волн, которые попадают в видимый диапазон ($\sim 5 \cdot 10^{-7} м$). Иными словами, "на глаз" такая поверхность выглядит абсолютно гладкой, а для жидкости она шершавая. Это тот самый диапазон размеров ($10^{-9} - 10^{-7} м$), в котором сейчас развиваются нанотехнологии.
