Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13931
2020-04-04 
Внутри прозрачного шестигранного корпуса шариковой ручки имеется круглый канал, заполненный чернилами. При рассматривании темного канала через прозрачный корпус было отмечено, что вращение корпуса вокруг его оси симметрии приводит к изменению видимой толщины канала с чернилами. Ширина видимой темной полосы максимальна, когда ближайшее ребро шестигранника, ось симметрии ручки и глаз наблюдателя лежат в одной плоскости. Отношение максимальной видимой толщины канала к его минимальной видимой толщине при неизменном расстоянии от ручки до глаза (которое во много раз больше толщины ручки) равно 2. Отношение диаметра $d$ канала к длине $L$ стороны шестигранника равно $\sqrt{3}/4$. Найдите показатель преломления материала, из которого сделан корпус.
Решение:
Согласно условию задачи, ручка находится от глаза на расстоянии, которое во много раз больше $L$, поэтому в глаз попадает узкий пучок световых лучей, идущих от канала. При положении ручки, когда видимая ширина канала максимальна, эта видимая ширина определяется расстоянием между двумя крайними лучами 1 и 2 (рис.), которые идут от границ канала и после преломления попадают в глаз. Эти лучи параллельны плоскости, в которой находятся глаз наблюдателя, ось симметрии ручки и ближнее к глазу наблюдателя ребро ручки А. В этой плоскости лежат отрезок ОА и центральный луч 0, который идет от центра канала О и без преломления проходит через ближнее к глазу ребро шестигранника. Минимальная видимая ширина канала, равная его настоящему диаметру $d$, очевидно, достигается тогда, когда канал рассматривается через одну из граней корпуса и все лучи проходят через эту грань. По условию, максимальная видимая ширина канала вдвое больше минимальной. Поэтому расстояние между лучами 0 и 2 (а также между лучами 0 и 1) равно диаметру $d$ канала. Исходя из этого, найдем точку В на грани корпуса ручки, через которую проходит, например, крайний падающий в глаз луч 2. Поскольку $\alpha = 60^{ \circ}$, то
$AB = \frac{d}{ \sin \alpha} = \frac{2d}{ \sqrt{3} } = \frac{1}{2} \frac{4d}{ \sqrt{3} } = \frac{L}{2}$.
Следовательно, лучи, идущие в направлении глаза от точек канала, расположенных максимально далеко от оси симметрии ручки, проходят через середины двух соседних граней корпуса, сквозь которые виден канал. Это дает возможность определить синус угла падения луча 2 на грань корпуса и синус угла преломления этого луча:
$\sin \beta = \frac{d/2}{}OB = \frac{d}{L \sqrt{3} } = \frac{1}{4}, \sin \gamma = \frac{1}{2}$.
В соответствии с законом преломления света, $n \sin \beta = \sin \gamma$, откуда находим искомый показатель преломления материала корпуса ручки:
$n = \frac{ \sin \gamma}{ \sin \beta } = 2$.
Внутри прозрачного шестигранного корпуса шариковой ручки имеется круглый канал, заполненный чернилами. При рассматривании темного канала через прозрачный корпус было отмечено, что вращение корпуса вокруг его оси симметрии приводит к изменению видимой толщины канала с чернилами. Ширина видимой темной полосы максимальна, когда ближайшее ребро шестигранника, ось симметрии ручки и глаз наблюдателя лежат в одной плоскости. Отношение максимальной видимой толщины канала к его минимальной видимой толщине при неизменном расстоянии от ручки до глаза (которое во много раз больше толщины ручки) равно 2. Отношение диаметра $d$ канала к длине $L$ стороны шестигранника равно $\sqrt{3}/4$. Найдите показатель преломления материала, из которого сделан корпус.
Решение:
Согласно условию задачи, ручка находится от глаза на расстоянии, которое во много раз больше $L$, поэтому в глаз попадает узкий пучок световых лучей, идущих от канала. При положении ручки, когда видимая ширина канала максимальна, эта видимая ширина определяется расстоянием между двумя крайними лучами 1 и 2 (рис.), которые идут от границ канала и после преломления попадают в глаз. Эти лучи параллельны плоскости, в которой находятся глаз наблюдателя, ось симметрии ручки и ближнее к глазу наблюдателя ребро ручки А. В этой плоскости лежат отрезок ОА и центральный луч 0, который идет от центра канала О и без преломления проходит через ближнее к глазу ребро шестигранника. Минимальная видимая ширина канала, равная его настоящему диаметру $d$, очевидно, достигается тогда, когда канал рассматривается через одну из граней корпуса и все лучи проходят через эту грань. По условию, максимальная видимая ширина канала вдвое больше минимальной. Поэтому расстояние между лучами 0 и 2 (а также между лучами 0 и 1) равно диаметру $d$ канала. Исходя из этого, найдем точку В на грани корпуса ручки, через которую проходит, например, крайний падающий в глаз луч 2. Поскольку $\alpha = 60^{ \circ}$, то
$AB = \frac{d}{ \sin \alpha} = \frac{2d}{ \sqrt{3} } = \frac{1}{2} \frac{4d}{ \sqrt{3} } = \frac{L}{2}$.
Следовательно, лучи, идущие в направлении глаза от точек канала, расположенных максимально далеко от оси симметрии ручки, проходят через середины двух соседних граней корпуса, сквозь которые виден канал. Это дает возможность определить синус угла падения луча 2 на грань корпуса и синус угла преломления этого луча:
$\sin \beta = \frac{d/2}{}OB = \frac{d}{L \sqrt{3} } = \frac{1}{4}, \sin \gamma = \frac{1}{2}$.
В соответствии с законом преломления света, $n \sin \beta = \sin \gamma$, откуда находим искомый показатель преломления материала корпуса ручки:
$n = \frac{ \sin \gamma}{ \sin \beta } = 2$.
