Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13930
2020-04-04 
Шарнирная конструкция состоит из очень большого числа $N$ периодически повторяющихся одинаковых звеньев (рис.). Каждое звено включает в себя пружину, концы которой прикреплены к серединам двух пар скрещенных реек, два сферических шарнирных блока и четыре половинки самих реек. Шарнирные блоки дают возможность рейкам свободно вращаться в пространстве. Жесткость каждой из пружин $k$, масса каждого из шарнирных блоков $m$, все остальные элементы невесомы, трения нигде нет. Когда пружины не деформированы, рейки образуют между собой угол $\alpha$. Концы этой конструкции соединили между собой, образовав большое кольцо, так, что пружины расположились вокруг цилиндрической поверхности. Получившаяся система колеблется таким образом, что в каждый момент времени все пружины сжаты или растянуты одинаково. Найдите период этих колебаний вокруг положения равновесия, считая их малыми. Система находится в невесомости.
Решение:
Посмотрим на конструкцию с направления, совпадающего с осью симметрии цилиндрической поверхности. В этой проекции все грузы расположены в вершинах многоугольника (можно считать, что в каждой вершине находится груз общей массой $2m$), к серединам сторон многоугольника прикреплены концы пружин. Пусть в некоторый момент времени угол между рейками равен некоторому значению $\beta$, которое мало отличается от равновесного значения $\alpha$ (поскольку колебания малы). Обозначим $\beta /2 = \phi$, а половину длины каждой рейки обозначим $\lambda$. Тогда длина стороны многоугольника равна $2 \lambda \sin \phi$ (это расстояние между соседними грузами, расположенными по одну сторону от пружины), а угол, под которым из центра многоугольника видны два соседних груза, равен $2 \pi /N$. Поэтому расстояние от оси симметрии цилиндрической поверхности до грузов равно
$L = \frac{ \lambda \sin \phi}{ \sin \frac{ \pi}{N} }$.
Поскольку $N \gg 1$, то $L = \frac{N \lambda \sin \phi}{ \pi}$. Координаты грузов, отсчитанные от пружин в направлении вдоль оси цилиндрической поверхности, равны $l = \pm \cos \phi$. Кинетическая энергия грузов складывается из энергии, связанной с движением вдоль оси симметрии конструкции и с движением поперек этого направления:
$E_{к} = \frac{1}{2} (2m)N \left ( \left ( \frac{dL}{dt} \right )^{2} + \left ( \frac{dl}{dt} \right )^{2} \right ) = mN \lambda^{2} \left ( \frac{N^{2} }{ \pi^{2} } \cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi \right ) \left ( \frac{d \phi}{dt} \right )^{2}$.
При $N \gg 1$
$E_{к} = m \lambda^{2} \frac{N^{3} }{ \pi^{2} } \cos^{2} \phi \left ( \frac{d \phi}{dt} \right )^{2}$.
Если пружины деформированы, то суммарная потенциальная энергия, связанная с деформациями пружин, равна
$E_{п} = N \frac{k}{2} (2 \lambda \sin \phi - 2 \lambda \sin \phi_{0} )^{2} = 2Nk \lambda^{2} ( \sin \phi - \sin \phi_{0} )^{2}$
где $\phi_{0} = \alpha /2$. Введем обозначение: $x = \lambda ( \sin \phi - \sin \phi_{0})$. Тогда суммарная механическая энергия конструкции равна
$E_{п} + E_{к} = 2Nk \lambda^{2} ( \sin \phi - \sin \phi_{0})^{2} + m \lambda^{2} \frac{N^{2} }{ \pi^{2} } \left ( \frac{d( \sin \phi - \sin \phi_{0} ) }{dt} \right )^{2} = 2Nkx^{2} + m \frac{N^{3} }{ \pi^{2} } \left ( \frac{d \phi}{dt} \right )^{2} = const$.
Отсюда сразу следует, что система будет совершать гармонические колебания, квадрат круговой частоты и период которых равны
$\omega^{2} = \frac{2 \pi^{2}k }{mN^{2} }$ и $T = \frac{2 \pi}{ \omega} = N \sqrt{ \frac{2m}{k} }$.
Шарнирная конструкция состоит из очень большого числа $N$ периодически повторяющихся одинаковых звеньев (рис.). Каждое звено включает в себя пружину, концы которой прикреплены к серединам двух пар скрещенных реек, два сферических шарнирных блока и четыре половинки самих реек. Шарнирные блоки дают возможность рейкам свободно вращаться в пространстве. Жесткость каждой из пружин $k$, масса каждого из шарнирных блоков $m$, все остальные элементы невесомы, трения нигде нет. Когда пружины не деформированы, рейки образуют между собой угол $\alpha$. Концы этой конструкции соединили между собой, образовав большое кольцо, так, что пружины расположились вокруг цилиндрической поверхности. Получившаяся система колеблется таким образом, что в каждый момент времени все пружины сжаты или растянуты одинаково. Найдите период этих колебаний вокруг положения равновесия, считая их малыми. Система находится в невесомости.
Решение:
Посмотрим на конструкцию с направления, совпадающего с осью симметрии цилиндрической поверхности. В этой проекции все грузы расположены в вершинах многоугольника (можно считать, что в каждой вершине находится груз общей массой $2m$), к серединам сторон многоугольника прикреплены концы пружин. Пусть в некоторый момент времени угол между рейками равен некоторому значению $\beta$, которое мало отличается от равновесного значения $\alpha$ (поскольку колебания малы). Обозначим $\beta /2 = \phi$, а половину длины каждой рейки обозначим $\lambda$. Тогда длина стороны многоугольника равна $2 \lambda \sin \phi$ (это расстояние между соседними грузами, расположенными по одну сторону от пружины), а угол, под которым из центра многоугольника видны два соседних груза, равен $2 \pi /N$. Поэтому расстояние от оси симметрии цилиндрической поверхности до грузов равно
$L = \frac{ \lambda \sin \phi}{ \sin \frac{ \pi}{N} }$.
Поскольку $N \gg 1$, то $L = \frac{N \lambda \sin \phi}{ \pi}$. Координаты грузов, отсчитанные от пружин в направлении вдоль оси цилиндрической поверхности, равны $l = \pm \cos \phi$. Кинетическая энергия грузов складывается из энергии, связанной с движением вдоль оси симметрии конструкции и с движением поперек этого направления:
$E_{к} = \frac{1}{2} (2m)N \left ( \left ( \frac{dL}{dt} \right )^{2} + \left ( \frac{dl}{dt} \right )^{2} \right ) = mN \lambda^{2} \left ( \frac{N^{2} }{ \pi^{2} } \cos^{2} \phi + \sin^{2} \phi \right ) \left ( \frac{d \phi}{dt} \right )^{2}$.
При $N \gg 1$
$E_{к} = m \lambda^{2} \frac{N^{3} }{ \pi^{2} } \cos^{2} \phi \left ( \frac{d \phi}{dt} \right )^{2}$.
Если пружины деформированы, то суммарная потенциальная энергия, связанная с деформациями пружин, равна
$E_{п} = N \frac{k}{2} (2 \lambda \sin \phi - 2 \lambda \sin \phi_{0} )^{2} = 2Nk \lambda^{2} ( \sin \phi - \sin \phi_{0} )^{2}$
где $\phi_{0} = \alpha /2$. Введем обозначение: $x = \lambda ( \sin \phi - \sin \phi_{0})$. Тогда суммарная механическая энергия конструкции равна
$E_{п} + E_{к} = 2Nk \lambda^{2} ( \sin \phi - \sin \phi_{0})^{2} + m \lambda^{2} \frac{N^{2} }{ \pi^{2} } \left ( \frac{d( \sin \phi - \sin \phi_{0} ) }{dt} \right )^{2} = 2Nkx^{2} + m \frac{N^{3} }{ \pi^{2} } \left ( \frac{d \phi}{dt} \right )^{2} = const$.
Отсюда сразу следует, что система будет совершать гармонические колебания, квадрат круговой частоты и период которых равны
$\omega^{2} = \frac{2 \pi^{2}k }{mN^{2} }$ и $T = \frac{2 \pi}{ \omega} = N \sqrt{ \frac{2m}{k} }$.
