Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13923
2020-04-04 
Возле гладкой стены стоит однородный стержень массой $M$ и длиной $2L$. От легкого толчка он приходит в движение. При каком угле $\alpha$ между стержнем и стеной произойдет отрыв стержня от вертикальной стены и каковы будут в этот момент скорости концов стержня по стене и по полу?
Решение:
Рассмотрим скольжение стержня вдоль гладкой стены и гладкого пола (рис.). Понятно, что при таком движении центр масс стержня движется по окружности радиусом $L$. Расставим все силы и укажем скорость центра масс стержня $v$. При рассмотрении закона сохранения энергии следует учесть кинетическую энергию не только поступательного движения центра масс стержня $\frac{1}{2} Mv^{2}$, но и вращательного движения стержня $\frac{1}{2} I \omega^{2}$, где $I = \frac{1}{3} ML^{2}$ - момент инерции стержня относительно центра масс и $\omega$ - мгновенная угловая скорость вращения стержня. Понятно, что $v = \omega L$. Закон сохранения энергии имеет вид
$MgL = \frac{Mv^{2} }{2} + \frac{I \omega^{2} }{2} + MgL \cos \alpha$,
откуда следует
$\omega^{2} = \frac{3}{2} \frac{g}{L} (1 - \cos \alpha )$.
Теперь найдем силу реакции опоры стены:
$N_{B} = Ma_{x} = M \frac{dv_{x} }{dt} = M \frac{d( \omega L \cos \alpha )}{dt} = ML \left ( \frac{d \omega }{dt} \cos \alpha - \omega \sin \alpha \frac{d \alpha }{dt} \right ) = ML \left ( \frac{d \omega }{dt} \cos \alpha - \omega^{2} \sin \alpha \right )$.
Производную $\frac{d \omega}{dt}$ найдем, продифференцировав выражение закона сохранения энергии:
$2 \omega \frac{d \omega }{dt} = \frac{3}{2} \frac{g}{L} \sin \alpha \cdot \frac{d \alpha}{dt}$, откуда $\frac{d \omega }{dt} = \frac{3}{4} \frac{g}{L} \sin \alpha$.
Окончательно получим
$N_{B} = \frac{3}{4} Mg \sin \alpha (3 \cos \alpha - 2)$.
Отрыв происходит при условии $\cos \alpha = \frac{2}{3}$. В момент отрыва скорость нижнего конца стержня равна $v_{x} = \frac{ \sqrt{3} }{2} v$, скорость верхнего конца стержня равна $v_{y} = \frac{1}{2} v$, где $v = \sqrt{ \frac{Lg}{2} }$.
Возле гладкой стены стоит однородный стержень массой $M$ и длиной $2L$. От легкого толчка он приходит в движение. При каком угле $\alpha$ между стержнем и стеной произойдет отрыв стержня от вертикальной стены и каковы будут в этот момент скорости концов стержня по стене и по полу?
Решение:
Рассмотрим скольжение стержня вдоль гладкой стены и гладкого пола (рис.). Понятно, что при таком движении центр масс стержня движется по окружности радиусом $L$. Расставим все силы и укажем скорость центра масс стержня $v$. При рассмотрении закона сохранения энергии следует учесть кинетическую энергию не только поступательного движения центра масс стержня $\frac{1}{2} Mv^{2}$, но и вращательного движения стержня $\frac{1}{2} I \omega^{2}$, где $I = \frac{1}{3} ML^{2}$ - момент инерции стержня относительно центра масс и $\omega$ - мгновенная угловая скорость вращения стержня. Понятно, что $v = \omega L$. Закон сохранения энергии имеет вид
$MgL = \frac{Mv^{2} }{2} + \frac{I \omega^{2} }{2} + MgL \cos \alpha$,
откуда следует
$\omega^{2} = \frac{3}{2} \frac{g}{L} (1 - \cos \alpha )$.
Теперь найдем силу реакции опоры стены:
$N_{B} = Ma_{x} = M \frac{dv_{x} }{dt} = M \frac{d( \omega L \cos \alpha )}{dt} = ML \left ( \frac{d \omega }{dt} \cos \alpha - \omega \sin \alpha \frac{d \alpha }{dt} \right ) = ML \left ( \frac{d \omega }{dt} \cos \alpha - \omega^{2} \sin \alpha \right )$.
Производную $\frac{d \omega}{dt}$ найдем, продифференцировав выражение закона сохранения энергии:
$2 \omega \frac{d \omega }{dt} = \frac{3}{2} \frac{g}{L} \sin \alpha \cdot \frac{d \alpha}{dt}$, откуда $\frac{d \omega }{dt} = \frac{3}{4} \frac{g}{L} \sin \alpha$.
Окончательно получим
$N_{B} = \frac{3}{4} Mg \sin \alpha (3 \cos \alpha - 2)$.
Отрыв происходит при условии $\cos \alpha = \frac{2}{3}$. В момент отрыва скорость нижнего конца стержня равна $v_{x} = \frac{ \sqrt{3} }{2} v$, скорость верхнего конца стержня равна $v_{y} = \frac{1}{2} v$, где $v = \sqrt{ \frac{Lg}{2} }$.
