Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13921
2020-04-04 
Легкий диск радиусом $R = 8 см$ подвешен на оси, проходящей на расстоянии $a = 4 см$ от его центра (рис.а). В нижнюю точку диска А садится тяжелый жук и начинает ползти по краю диска со скоростью $v = 12 мм/мин$ на противоположный край диска, в точку В. Через какое время жук наберет максимальную скорость относительно неподвижной системы отсчета? Чему она будет равна? Чему будет равна скорость жука относительно неподвижной системы координат в тот момент, когда он проползет половину пути?
Решение:
Так как по условию задачи жук гораздо тяжелее диска, то при движении он все время остается под точкой подвеса. Поэтому в неподвижной системе координат его движение представляет подъем по вертикальной линии вверх (рис.б), а его скорость есть скорость уменьшения длины отрезка РЖ.
Для вычисления этой скорости рассмотрим движение жука в системе отсчета, связанной с диском (рис.в), - ведь именно относительно этой системы отсчета нам задано его движение. В этой системе отсчета жук ползет вдоль края диска, и отрезок РЖ укорачивается со скоростью
$u = v \cos (90^{ \circ} - \beta ) = v \sin \beta = \frac{a}{R} v \sin \alpha$.
(Последнее равенство получено с помощью теоремы синусов $\frac{R}{ \sin \alpha} = \frac{a}{ \sin \beta}$.)
Теперь мы готовы ответить на все вопросы задачи.
Скорость жука в неподвижной системе отсчета станет максимальной, когда будет достигнуто равенство $\sin \alpha = 1$ (рис.г). Она будет равна
$u_{max} = \frac{a}{R} v = 6 мм/мин$.
Это произойдет, когда углы станут такими: $\alpha = 90^{ \circ} , \phi = 120^{ \circ}$, т.е. когда жук проползет треть окружности, пройдя путь $s = \frac{2 \pi R}{3}$. Для этого ему понадобится время
$t = \frac{s}{v} = \frac{2 \pi R}{3v} = 14 мин$.
Когда жук проползет половину пути, угол $\beta$ станет таким, что
$\sin \beta = \frac{a}{ \sqrt{R^{2} + a^{2} } } = \frac{1}{ \sqrt{5} }$,
и скорость жука в неподвижной системе отсчета будет
$u = v \sin \beta = \frac{1}{ \sqrt{5} } v = 5,4 мм/мин$.
Легкий диск радиусом $R = 8 см$ подвешен на оси, проходящей на расстоянии $a = 4 см$ от его центра (рис.а). В нижнюю точку диска А садится тяжелый жук и начинает ползти по краю диска со скоростью $v = 12 мм/мин$ на противоположный край диска, в точку В. Через какое время жук наберет максимальную скорость относительно неподвижной системы отсчета? Чему она будет равна? Чему будет равна скорость жука относительно неподвижной системы координат в тот момент, когда он проползет половину пути?
Решение:
Так как по условию задачи жук гораздо тяжелее диска, то при движении он все время остается под точкой подвеса. Поэтому в неподвижной системе координат его движение представляет подъем по вертикальной линии вверх (рис.б), а его скорость есть скорость уменьшения длины отрезка РЖ.
Для вычисления этой скорости рассмотрим движение жука в системе отсчета, связанной с диском (рис.в), - ведь именно относительно этой системы отсчета нам задано его движение. В этой системе отсчета жук ползет вдоль края диска, и отрезок РЖ укорачивается со скоростью
$u = v \cos (90^{ \circ} - \beta ) = v \sin \beta = \frac{a}{R} v \sin \alpha$.
(Последнее равенство получено с помощью теоремы синусов $\frac{R}{ \sin \alpha} = \frac{a}{ \sin \beta}$.)
Теперь мы готовы ответить на все вопросы задачи.
Скорость жука в неподвижной системе отсчета станет максимальной, когда будет достигнуто равенство $\sin \alpha = 1$ (рис.г). Она будет равна
$u_{max} = \frac{a}{R} v = 6 мм/мин$.
Это произойдет, когда углы станут такими: $\alpha = 90^{ \circ} , \phi = 120^{ \circ}$, т.е. когда жук проползет треть окружности, пройдя путь $s = \frac{2 \pi R}{3}$. Для этого ему понадобится время
$t = \frac{s}{v} = \frac{2 \pi R}{3v} = 14 мин$.
Когда жук проползет половину пути, угол $\beta$ станет таким, что
$\sin \beta = \frac{a}{ \sqrt{R^{2} + a^{2} } } = \frac{1}{ \sqrt{5} }$,
и скорость жука в неподвижной системе отсчета будет
$u = v \sin \beta = \frac{1}{ \sqrt{5} } v = 5,4 мм/мин$.
