Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13919
2020-04-04 
На гладкой горизонтальной плоскости находятся три бруска, массы которых $m_{1}, m_{2}$ и $m_{3}$ (рис.; вид сверху). Упругая легкая резинка связывает бруски 1 и 2 и проходит через блок, прикрепленный к бруску 3. Трения в системе нет. Исходно бруски неподвижны, а резинка чуть провисает. Бруску 3 ударом (мгновенно) сообщают скорость $v$.
1) Найдите скорости брусков в момент, когда растяжение резинки наибольшее.
2) Какими будут скорости брусков, когда резинка снова провиснет?
3) В случае, когда $v = 1 м/с, m_{1} = 1 кг, m_{2} = 2 кг, m_{3} = 3 кг$, найдите скорость $v_{3}$ третьего бруска при наибольшем растяжении резинки.
Решение:
1) Пусть $T$ - сила натяжения резинки, тогда сила, действующая со стороны блока на брусок 3, равна $2T$. Ускорения брусков обозначим $a_{1}, a_{2}$ и $a_{3}$ соответственно. По второму закону Ньютона,
$m_{1}a_{1} = T, m_{2}a_{2} = T, m_{3}a_{3} = 2T$.
То же отношение справедливо для изменения импульсов (с учетом направлений):
$m_{1}v_{1} = m_{2}v_{2} = 2m_{3} (v - v_{3})$.
Скорость изменения длины нити $\frac{dL}{dt} = 2v_{3} - (v_{1} + v_{2})$ при наибольшем растяжении обращается в ноль, т.е.
$v_{3} + v_{2} = 2v_{3}$,
Отсюда находим
$v_{3} = v \frac{m_{3}(m_{1} + m_{2} ) }{m_{1}m_{2} + m_{1}m_{3} + m_{3}m_{2} }$,
$v_{1} = v \frac{2m_{3}m_{2}}{m_{1}m_{2} + m_{1}m_{3} + m_{3}m_{2} }$,
$v_{2} = v \frac{2m_{3}m_{1}}{m_{1}m_{2} + m_{1}m_{3} + m_{3}m_{2} }$,
Остается в силе следствие второго закона Ньютона:
$m_{1}v_{1} = m_{2}v_{2} = 2m_{3} (v - v_{3})$.
2) При возвращении резинки снова в ненатянутое состояние, по закону сохранения энергии,
$m_{1} \frac{v_{1}^{2} }{2} + m_{2} \frac{v_{2}^{2} }{2} + m_{3} \frac{v_{3}^{2} }{2} = m_{3} \frac{v^{2} }{2}$.
Отсюда находим
$v_{3} = v \frac{4m_{1}m_{3} + 4m_{3}m_{2} - m_{1}m_{2} }{m_{1}m_{2} + 4m_{1}m_{3} + 4m_{3}m_{2} }$,
$v_{1} = v \frac{4m_{3}m_{2}}{m_{1}m_{2} + 4m_{1}m_{3} + 4m_{3}m_{2} }$,
$v_{2} = v \frac{4m_{3}m_{1}}{m_{1}m_{2} + 4m_{1}m_{3} + 4m_{3}m_{2} }$.
3) Подставляя в полученную в первом пункте формулу числовые значения, находим
$v_{3} = \frac{9}{11} м/с$.
На гладкой горизонтальной плоскости находятся три бруска, массы которых $m_{1}, m_{2}$ и $m_{3}$ (рис.; вид сверху). Упругая легкая резинка связывает бруски 1 и 2 и проходит через блок, прикрепленный к бруску 3. Трения в системе нет. Исходно бруски неподвижны, а резинка чуть провисает. Бруску 3 ударом (мгновенно) сообщают скорость $v$.
1) Найдите скорости брусков в момент, когда растяжение резинки наибольшее.
2) Какими будут скорости брусков, когда резинка снова провиснет?
3) В случае, когда $v = 1 м/с, m_{1} = 1 кг, m_{2} = 2 кг, m_{3} = 3 кг$, найдите скорость $v_{3}$ третьего бруска при наибольшем растяжении резинки.
Решение:
1) Пусть $T$ - сила натяжения резинки, тогда сила, действующая со стороны блока на брусок 3, равна $2T$. Ускорения брусков обозначим $a_{1}, a_{2}$ и $a_{3}$ соответственно. По второму закону Ньютона,
$m_{1}a_{1} = T, m_{2}a_{2} = T, m_{3}a_{3} = 2T$.
То же отношение справедливо для изменения импульсов (с учетом направлений):
$m_{1}v_{1} = m_{2}v_{2} = 2m_{3} (v - v_{3})$.
Скорость изменения длины нити $\frac{dL}{dt} = 2v_{3} - (v_{1} + v_{2})$ при наибольшем растяжении обращается в ноль, т.е.
$v_{3} + v_{2} = 2v_{3}$,
Отсюда находим
$v_{3} = v \frac{m_{3}(m_{1} + m_{2} ) }{m_{1}m_{2} + m_{1}m_{3} + m_{3}m_{2} }$,
$v_{1} = v \frac{2m_{3}m_{2}}{m_{1}m_{2} + m_{1}m_{3} + m_{3}m_{2} }$,
$v_{2} = v \frac{2m_{3}m_{1}}{m_{1}m_{2} + m_{1}m_{3} + m_{3}m_{2} }$,
Остается в силе следствие второго закона Ньютона:
$m_{1}v_{1} = m_{2}v_{2} = 2m_{3} (v - v_{3})$.
2) При возвращении резинки снова в ненатянутое состояние, по закону сохранения энергии,
$m_{1} \frac{v_{1}^{2} }{2} + m_{2} \frac{v_{2}^{2} }{2} + m_{3} \frac{v_{3}^{2} }{2} = m_{3} \frac{v^{2} }{2}$.
Отсюда находим
$v_{3} = v \frac{4m_{1}m_{3} + 4m_{3}m_{2} - m_{1}m_{2} }{m_{1}m_{2} + 4m_{1}m_{3} + 4m_{3}m_{2} }$,
$v_{1} = v \frac{4m_{3}m_{2}}{m_{1}m_{2} + 4m_{1}m_{3} + 4m_{3}m_{2} }$,
$v_{2} = v \frac{4m_{3}m_{1}}{m_{1}m_{2} + 4m_{1}m_{3} + 4m_{3}m_{2} }$.
3) Подставляя в полученную в первом пункте формулу числовые значения, находим
$v_{3} = \frac{9}{11} м/с$.
