Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13904
2020-04-04 
Точка старта С находится на прямолинейном шоссе, а точка финиша Ф - в распаханном поле на расстоянии $d$ от шоссе, напротив точки шоссе А, расположенной на расстоянии $l$ от точки старта. Скорость бега по шоссе $v_{1}$, а по полю $v_{2} < v_{1}$. По какой траектории надо бежать, чтобы добежать до финиша за минимальное время?
Решение:
Если свернуть с дороги на расстоянии $x$ от точки А (рис.), то время движения составит
$t = \frac{l - x}{v_{1} } + \frac{ \sqrt{x^{2} + d^{2}}}{v_{2} }$.
Исследовать эту функцию на минимум с помощью производной для школьника совсем не просто. Найдем минимальное время из следующих соображений: если немного изменить траекторию, сместив вперед или назад точку поворота, то изменение времени движения в первом приближении будет равно нулю. При приближении точки поворота на малое $\Delta x$ время движения по дороге уменьшится на $\frac{ \Delta x}{v_{1}}$, а время движения по полю увеличится на $\frac{ \Delta x \cos \alpha}{v_{2}}$. Получаем уравнение
$\frac{ \Delta x \cos \alpha }{ v_{2} } - \frac{ \Delta x}{v_{1} } = 0$,
откуда находим угол $\alpha$, соответствующий минимальному времени, и искомое расстояние $x$:
$\cos \alpha = \frac{v_{2}}{v_{1} }, x = d ctg \alpha = \frac{d \cos \alpha}{ \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha } } = \frac{dv_{2} }{ \sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2} } }$.
Заметим, что если $x$ получится больше $l$, то бежать надо сразу по полю от точки старта к точке финиша.
Точка старта С находится на прямолинейном шоссе, а точка финиша Ф - в распаханном поле на расстоянии $d$ от шоссе, напротив точки шоссе А, расположенной на расстоянии $l$ от точки старта. Скорость бега по шоссе $v_{1}$, а по полю $v_{2} < v_{1}$. По какой траектории надо бежать, чтобы добежать до финиша за минимальное время?
Решение:
Если свернуть с дороги на расстоянии $x$ от точки А (рис.), то время движения составит
$t = \frac{l - x}{v_{1} } + \frac{ \sqrt{x^{2} + d^{2}}}{v_{2} }$.
Исследовать эту функцию на минимум с помощью производной для школьника совсем не просто. Найдем минимальное время из следующих соображений: если немного изменить траекторию, сместив вперед или назад точку поворота, то изменение времени движения в первом приближении будет равно нулю. При приближении точки поворота на малое $\Delta x$ время движения по дороге уменьшится на $\frac{ \Delta x}{v_{1}}$, а время движения по полю увеличится на $\frac{ \Delta x \cos \alpha}{v_{2}}$. Получаем уравнение
$\frac{ \Delta x \cos \alpha }{ v_{2} } - \frac{ \Delta x}{v_{1} } = 0$,
откуда находим угол $\alpha$, соответствующий минимальному времени, и искомое расстояние $x$:
$\cos \alpha = \frac{v_{2}}{v_{1} }, x = d ctg \alpha = \frac{d \cos \alpha}{ \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha } } = \frac{dv_{2} }{ \sqrt{v_{1}^{2} - v_{2}^{2} } }$.
Заметим, что если $x$ получится больше $l$, то бежать надо сразу по полю от точки старта к точке финиша.
