ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-04-04   
По наклонной доске пускают снизу вверх маленькую шайбу с минимальной начальной скоростью, необходимой для достижения верхнего края доски. При некотором угле наклона доски время движения шайбы будет наименьшим. Чему равно это время? Коэффициент трения шайбы по доске $\mu = 0,75$, длина доски $l = 4 м$.


Решение:


Исключая $v_{0}$ из формул кинематики

$0 = v_{0} - at, l = v_{0}t - \frac{at^{2} }{2}$,

получим

$t = \sqrt{ \frac{2l}{a} }$.


Чтобы найти максимальное значение $a$, выразим его из уравнений динамики (рис.; ось $x$ направлена по ускорению, ось $y$ - по силе нормальной реакции)

$mg \sin \alpha + F_{тр} = ma$,
$N - mg \cos \alpha = 0$,
$F_{тр} = \mu N$.

Находим

$a = g ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha )$.

Можно использовать производную, а можно прибегнуть к следующему преобразованию:

$\sin \alpha + \mu \cos \alpha = \sqrt{1 + \mu^{2} } \left ( \frac{1}{ \sqrt{1 + \mu^{2} } } \sin \alpha + \frac{ \mu}{ \sqrt{1 + \mu^{2} } } \cos \alpha \right ) = \sqrt{1 + \mu^{2} } \sin ( \alpha + \beta )$,

где $\beta = arccos \frac{1}{ \sqrt{1 + \mu^{2}}}$. Максимум этого выражения равен $\sqrt{1+ \mu^{2}}$, следовательно, максимальное ускорение равно

$a_{max} = g \sqrt{1 + \mu^{2} }$,

а минимальное время -

$t_{min} = \sqrt{ \frac{2l}{a_{max} } } = \sqrt{ \frac{2l}{g \sqrt{1 + \mu^{2} } } } = 0,8 с$.