Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13900
2020-04-04 
Источник тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$ замыкают на реостат. При каком сопротивлении реостата на нем будет выделяться максимальная мощность? Чему она равна?
Решение:
Мощность, выделяющаяся на реостате, выражается формулой
$P = I^{2}R = \frac{ \mathcal{E}^{2}}{(R + r)^{2} }R$.
Это выражение стремится к нулю как при $R \rightarrow 0$, так и при $R \rightarrow \infty$. Значит, оно должно быть максимально при некотором $R$. Кто научился хорошо дифференцировать, может попробовать найти максимум этого выражения с помощью производной. Мы поступим иначе. Преобразуем выражение для мощности, разделив на $R$ числитель и знаменатель:
$P = \frac{ \mathcal{E}^{2}}{R + 2r + \frac{r^{2} }{R}}$.
Из неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом следует, что минимум выражения $R + \frac{r^{2}}{R}$, а значит максимум мощности, достигается при равенстве слагаемых, т.е. при
$R = r$.
Максимальная мощность при этом будет равна
$P_{max} = \frac{ \mathcal{E}^{2} }{4r}$.
Если бы мы не додумались до указанного преобразования, то могли бы пойти другим знакомым путем. Будем считать исследуемое выражение для $P(R)$ уравнением для $R$ при заданной $P$, тогда при $P = P_{max}$ это уравнение должно иметь одно решение, т.е. дискриминант должен обратиться в ноль. Проделайте вычисления самостоятельно и убедитесь, что получается правильный ответ. Мы же обозначим еще один подход к этой задаче.
Мощность во внешней цепи можно выразить не как функцию $R$, а как функцию силы тока $I$:
$P = \mathcal{E} I - I^{2}r$
(мощность, переданная во внешнюю цепь, есть полная мощность источника минус тепловая мощность на внутреннем сопротивлении источника). Эта формула имеет даже более общий характер, чем формула $P(R)$, она применима при любой нагрузке внешней цепи. Зависимость $P(I)$ есть квадратичная функция с корнями $I_{1} = 0$ и $I_{2} = \frac{ \mathcal{E}}{r}$, имеющая при $I = \frac{ \mathcal{E}}{2r}$ максимальное значение $P_{max} = \frac{ \mathcal{E}^{2} }{4r}$.
Источник тока с ЭДС $\mathcal{E}$ и внутренним сопротивлением $r$ замыкают на реостат. При каком сопротивлении реостата на нем будет выделяться максимальная мощность? Чему она равна?
Решение:
Мощность, выделяющаяся на реостате, выражается формулой
$P = I^{2}R = \frac{ \mathcal{E}^{2}}{(R + r)^{2} }R$.
Это выражение стремится к нулю как при $R \rightarrow 0$, так и при $R \rightarrow \infty$. Значит, оно должно быть максимально при некотором $R$. Кто научился хорошо дифференцировать, может попробовать найти максимум этого выражения с помощью производной. Мы поступим иначе. Преобразуем выражение для мощности, разделив на $R$ числитель и знаменатель:
$P = \frac{ \mathcal{E}^{2}}{R + 2r + \frac{r^{2} }{R}}$.
Из неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом следует, что минимум выражения $R + \frac{r^{2}}{R}$, а значит максимум мощности, достигается при равенстве слагаемых, т.е. при
$R = r$.
Максимальная мощность при этом будет равна
$P_{max} = \frac{ \mathcal{E}^{2} }{4r}$.
Если бы мы не додумались до указанного преобразования, то могли бы пойти другим знакомым путем. Будем считать исследуемое выражение для $P(R)$ уравнением для $R$ при заданной $P$, тогда при $P = P_{max}$ это уравнение должно иметь одно решение, т.е. дискриминант должен обратиться в ноль. Проделайте вычисления самостоятельно и убедитесь, что получается правильный ответ. Мы же обозначим еще один подход к этой задаче.
Мощность во внешней цепи можно выразить не как функцию $R$, а как функцию силы тока $I$:
$P = \mathcal{E} I - I^{2}r$
(мощность, переданная во внешнюю цепь, есть полная мощность источника минус тепловая мощность на внутреннем сопротивлении источника). Эта формула имеет даже более общий характер, чем формула $P(R)$, она применима при любой нагрузке внешней цепи. Зависимость $P(I)$ есть квадратичная функция с корнями $I_{1} = 0$ и $I_{2} = \frac{ \mathcal{E}}{r}$, имеющая при $I = \frac{ \mathcal{E}}{2r}$ максимальное значение $P_{max} = \frac{ \mathcal{E}^{2} }{4r}$.
