Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13898
2020-04-04 
Автомобиль приближается к пункту А со скоростью $v_{1} = 80 км/ч$. В тот момент, когда ему оставалосъ проехать $L = 10 км$, из пункта А в перпендикулярном направлении выезжает грузовик со скоростью $v_{2} = 60 км/ч$. Чему равно наименьшее расстояние между автомобилем и грузовиком?
Решение:
Ясно, что расстояние между автомобилем и грузовиком имеет минимум - вначале это расстояние уменьшается, а при подъезде автомобиля к пункту А оно уже увеличивается. Зависимость расстояния (точнее, квадрата расстояния) между автомобилем и грузовиком от времени имеет вид
$s^{2} = (L- v_{1}t)^{2} + (v_{2}t)^{2} = (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} )t^{2} - 2Lv_{1}t + L^{2}$.
Проще всего исследовать это выражение на минимум с помощью производной. Приравняв производную к нулю, получим
$t = \frac{Lv_{1} }{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} }, s = \frac{Lv_{2} }{ \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} } } = 6 км$.
Можно выделить полный квадрат интересующего нас расстояния:
$s^{2} = ( v_{1}^{2} + v_{2}^{2}) \left ( t - \frac{Lv_{1} }{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} } \right )^{2} - \frac{L^{2}v_{1}^{2} }{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} } + L^{2}$
и получить тот же ответ.
Автомобиль приближается к пункту А со скоростью $v_{1} = 80 км/ч$. В тот момент, когда ему оставалосъ проехать $L = 10 км$, из пункта А в перпендикулярном направлении выезжает грузовик со скоростью $v_{2} = 60 км/ч$. Чему равно наименьшее расстояние между автомобилем и грузовиком?
Решение:
Ясно, что расстояние между автомобилем и грузовиком имеет минимум - вначале это расстояние уменьшается, а при подъезде автомобиля к пункту А оно уже увеличивается. Зависимость расстояния (точнее, квадрата расстояния) между автомобилем и грузовиком от времени имеет вид
$s^{2} = (L- v_{1}t)^{2} + (v_{2}t)^{2} = (v_{1}^{2} + v_{2}^{2} )t^{2} - 2Lv_{1}t + L^{2}$.
Проще всего исследовать это выражение на минимум с помощью производной. Приравняв производную к нулю, получим
$t = \frac{Lv_{1} }{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} }, s = \frac{Lv_{2} }{ \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} } } = 6 км$.
Можно выделить полный квадрат интересующего нас расстояния:
$s^{2} = ( v_{1}^{2} + v_{2}^{2}) \left ( t - \frac{Lv_{1} }{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} } \right )^{2} - \frac{L^{2}v_{1}^{2} }{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} } + L^{2}$
и получить тот же ответ.
