Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13897
2020-04-03 
В архиве Снеллиуса нашли чертеж оптической схемы, на которой была изображена линза, положение точечного источника света $S_{0}$ и его изображения $S_{1}$. От времени чернила выцвели, и на схеме осталось видно только положение оптической оси линзы, источника $S_{0}$, изображения $S_{1}$ и одного из фокусов $F$ (рис.). Построением циркулем и линейкой без делений восстановите возможные положения линзы.
Решение:
Для начала проведем качественный анализ того, где может располагаться линза и какой она может быть.
Рассеивающая линза. Изображение в рассеивающей линзе всегда мнимое и лежит по ту же сторону от линзы, что и источник, причем расстояние от линзы до изображения меньше расстояния от линзы до источника. Таким образом, условию удовлетворяет рассеивающая линза, которая находится правее $S_{1}$ (рис.).
Собирающая линза. Изображение может быть как мнимым, так и действительным. Мнимое (причем, увеличенное) изображение расположено от линзы всегда дальше, чем источник, поэтому линза, дающая мнимое изображение, расположена слева от $S_{0}$ (рис.). Если линза расположена между источником $S_{0}$ и изображением $S_{1}$, то изображение - действительное. Так как линза имеет два фокуса, то точка $F$ может лежать как справа (рис.), так и слева от линзы (рис.). Таким образом, существуют четыре решения.
Теперь найдем точные координаты оптических центров этих линз и выполним построения. Пусть расстояние от источника света до фокуса равно $d$, до изображения - $L$, а до линзы - $x$. Запишем формулу тонкой линзы:
$\frac{1}{|x|} \pm \frac{1}{|L - x|} = \pm \frac{1}{|d - x|}$,
где знак плюс в левой части соответствует действительному изображению, а знак минус - мнимому, знак плюс перед оптической силой линзы соответствует собирающей линзе, а знак минус - рассеивающей. Данные точки $S_{0}, F$ и $S_{1}$ делят оптическую ось на четыре промежутка, в каждом из которых модули в формуле линзы будут раскрываться с различными знаками. Найдем все решения. Сначала раскроем знаки на промежутке $S_{0}F$. Как мы заметили выше, здесь может располагаться только собирающая линза, тогда
$\frac{1}{x} + \frac{1}{L - x} = \frac{1}{d -x}$, или $x^{2} - 2Lx + Ld = 0$, и $L - x = \mp \sqrt{ L(L -d) }$,
причем решение со знаком минус попадает в рассматриваемый нами промежуток. Решая по аналогии уравнение на оставшихся трех промежутках, найдем, что еще две собирающие линзы находятся в точках $x = \pm \sqrt{Ld}$, а в точке $L - x = \sqrt{L(L - d)}$ находится рассеивающая линза.
Все построения в данной задаче сводятся к построению корней из произведений длин отрезков. В курсе геометрии доказывается, что высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Таким образом, найдем $\sqrt{S_{0}S_{1} \cdot FS_{1}}$ и $\sqrt{S_{0}S_{1} \cdot S_{0}F}$ и отложим полученные отрезки от точки $S_{0}$ вправо и от точки $S_{1}$ в обе стороны соответственно.
Далее делаем следующее (рис.). Отложим на оптической оси отрезок длиной $S_{0}S_{1} = L$ вправо от точки $S_{1}$ и обозначим точку $M_{1}$. Найдем среднее геометрическое от длин $FS_{1} = L - d$ и $L$. Для этого построим окружность на диаметре $FM_{1}$. Точку пересечения перпендикуляра к оптической оси, проходящего через $S_{1}$, и окружности обозначим $P_{1}$. Длина отрезка $S_{1}P_{1}$ равна $\sqrt{L(L - d)}$. Отложим отрезки длиной $S_{1}P_{1}$ влево ($O_{1}$) и вправо ($O_{2}$) от $S_{1}$ на оптической оси. Левая линза окажется собирающей, а правая - рассеивающей. Отложим на оптической оси отрезок длины $S_{0}S_{1} = L$ влево от точки $S_{0}$ и обозначим точку $M_{0}$. Построим окружность на диаметре $M_{0}F$ и перпендикуляр $S_{0}P_{0}$, длина которого равна $\sqrt{Ld}$. Отложим отрезки длиной $S_{0}P_{0}$ влево ($O_{3}$) и вправо ($O_{4}$) от точки $S_{0}$ на оптической оси. Обе эти линзы являются собирающими.
В архиве Снеллиуса нашли чертеж оптической схемы, на которой была изображена линза, положение точечного источника света $S_{0}$ и его изображения $S_{1}$. От времени чернила выцвели, и на схеме осталось видно только положение оптической оси линзы, источника $S_{0}$, изображения $S_{1}$ и одного из фокусов $F$ (рис.). Построением циркулем и линейкой без делений восстановите возможные положения линзы.
Решение:
Для начала проведем качественный анализ того, где может располагаться линза и какой она может быть.
Рассеивающая линза. Изображение в рассеивающей линзе всегда мнимое и лежит по ту же сторону от линзы, что и источник, причем расстояние от линзы до изображения меньше расстояния от линзы до источника. Таким образом, условию удовлетворяет рассеивающая линза, которая находится правее $S_{1}$ (рис.).
Собирающая линза. Изображение может быть как мнимым, так и действительным. Мнимое (причем, увеличенное) изображение расположено от линзы всегда дальше, чем источник, поэтому линза, дающая мнимое изображение, расположена слева от $S_{0}$ (рис.). Если линза расположена между источником $S_{0}$ и изображением $S_{1}$, то изображение - действительное. Так как линза имеет два фокуса, то точка $F$ может лежать как справа (рис.), так и слева от линзы (рис.). Таким образом, существуют четыре решения.
Теперь найдем точные координаты оптических центров этих линз и выполним построения. Пусть расстояние от источника света до фокуса равно $d$, до изображения - $L$, а до линзы - $x$. Запишем формулу тонкой линзы:
$\frac{1}{|x|} \pm \frac{1}{|L - x|} = \pm \frac{1}{|d - x|}$,
где знак плюс в левой части соответствует действительному изображению, а знак минус - мнимому, знак плюс перед оптической силой линзы соответствует собирающей линзе, а знак минус - рассеивающей. Данные точки $S_{0}, F$ и $S_{1}$ делят оптическую ось на четыре промежутка, в каждом из которых модули в формуле линзы будут раскрываться с различными знаками. Найдем все решения. Сначала раскроем знаки на промежутке $S_{0}F$. Как мы заметили выше, здесь может располагаться только собирающая линза, тогда
$\frac{1}{x} + \frac{1}{L - x} = \frac{1}{d -x}$, или $x^{2} - 2Lx + Ld = 0$, и $L - x = \mp \sqrt{ L(L -d) }$,
причем решение со знаком минус попадает в рассматриваемый нами промежуток. Решая по аналогии уравнение на оставшихся трех промежутках, найдем, что еще две собирающие линзы находятся в точках $x = \pm \sqrt{Ld}$, а в точке $L - x = \sqrt{L(L - d)}$ находится рассеивающая линза.
Все построения в данной задаче сводятся к построению корней из произведений длин отрезков. В курсе геометрии доказывается, что высота прямоугольного треугольника, опущенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу. Таким образом, найдем $\sqrt{S_{0}S_{1} \cdot FS_{1}}$ и $\sqrt{S_{0}S_{1} \cdot S_{0}F}$ и отложим полученные отрезки от точки $S_{0}$ вправо и от точки $S_{1}$ в обе стороны соответственно.
Далее делаем следующее (рис.). Отложим на оптической оси отрезок длиной $S_{0}S_{1} = L$ вправо от точки $S_{1}$ и обозначим точку $M_{1}$. Найдем среднее геометрическое от длин $FS_{1} = L - d$ и $L$. Для этого построим окружность на диаметре $FM_{1}$. Точку пересечения перпендикуляра к оптической оси, проходящего через $S_{1}$, и окружности обозначим $P_{1}$. Длина отрезка $S_{1}P_{1}$ равна $\sqrt{L(L - d)}$. Отложим отрезки длиной $S_{1}P_{1}$ влево ($O_{1}$) и вправо ($O_{2}$) от $S_{1}$ на оптической оси. Левая линза окажется собирающей, а правая - рассеивающей. Отложим на оптической оси отрезок длины $S_{0}S_{1} = L$ влево от точки $S_{0}$ и обозначим точку $M_{0}$. Построим окружность на диаметре $M_{0}F$ и перпендикуляр $S_{0}P_{0}$, длина которого равна $\sqrt{Ld}$. Отложим отрезки длиной $S_{0}P_{0}$ влево ($O_{3}$) и вправо ($O_{4}$) от точки $S_{0}$ на оптической оси. Обе эти линзы являются собирающими.
