Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13896
2020-04-03 
К горизонтальному непроводящему потолку на тонких металлических проволоках длиной $l = 1 м$ на расстоянии $d = 10 см$ друг от друга подвешены два одинаковых стальных шарика радиусом $r = 5 мм$ и массой $m = 4 г$ (рис.). В начальный момент шарики не заряжены и покоятся. Ускорение свободного падения $g = 9,8 м/с^{2}$. Электрическая постоянная $\epsilon_{0} = 8,85 \cdot 10^{-12} Ф/м$.
1) Определите период $T$ малых свободных колебаний шариков.
2) К точкам крепления проволок подключают источник напряжения $U$ с большим внутренним сопротивлением $R = 10^{15} Ом$. При каком значении $U = U_{min}$ шарики столкнутся через некоторое время?
3) Найдите время $t_{0}$, через которое разность потенциалов между шариками достигнет значения $U_{min}$, если $U = U_{0} = 1,0 \cdot 10^{6} B$.
Решение:
1) Период колебаний каждого шарика равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} } = 2,0 c$.
2) Шарики считаем точечными зарядами. При отклонении проволок от вертикали на небольшой угол $\alpha$ ($\sin \alpha \approx tg \alpha \approx \alpha$) в сторону сближения сила кулоновского притяжения $F_{K} = \frac{kq^{2}}{(d - 2 \alpha l )^{2}}$ уравновешивается равнодействующей сил тяжести и натяжения проволок $F_{н} = mg \alpha$:
$k \frac{q^{2} }{(d - 2 \alpha l)^{2} } = mg \alpha$, или $k \frac{q^{2} }{mg} = \alpha (d - 2 \alpha l)^{2} = f( \alpha)$.
Функция $f( \alpha ) = \alpha (d - 2 \alpha l )^{2}$ имеет максимум при $\alpha_{0} = \frac{d}{6l}$. Этому значению соответствует максимальное значение заряда шариков:
$k q_{max}^{2} = mg \alpha_{0} (d - 2 \alpha_{0}l)^{2} = \frac{2mgd^{3}}{27l}$, и $q_{max} = \sqrt{ \frac{2mgd^{3} }{27kl} }$.
Для отклонения шариков на больший, чем $\alpha_{0}$, угол, вплоть до столкновения, требуется меньший заряд, а значит, при сколь угодно незначительном превышении $q_{max}$ шарики под действием кулоновского взаимодействия достаточно быстро притянутся (за время, не превышающее $T$) и, взаимно разрядившись, вновь разойдутся, пока вновь не приобретут необходимый для столкновения критический заряд $q_{max}$. Разность потенциалов между шариками при $q_{max}$ равна минимальному значению напряжения источника, при котором шарики столкнутся:
$U_{min} = \phi_{+} - \phi_{-} = k \frac{q_{max} }{r} - \left ( - k \frac{q_{max} }{r} \right ) = 2 \sqrt{ \frac{2kmgd^{3} }{27lr^{2} } } = 64,6 кВ$.
3) Поскольку $U_{min} \ll U_{0} = 1 MB$, ток заряда можно считать постоянным и равным $I = \frac{U_{0}}{R}$, и время заряда до значения $q_{max}$ можно рассчитать по формуле
$t_{0} = \frac{q_{max} }{I} = \frac{U_{min}r }{2k} \frac{R}{U_{0} } = 18 c$.
К горизонтальному непроводящему потолку на тонких металлических проволоках длиной $l = 1 м$ на расстоянии $d = 10 см$ друг от друга подвешены два одинаковых стальных шарика радиусом $r = 5 мм$ и массой $m = 4 г$ (рис.). В начальный момент шарики не заряжены и покоятся. Ускорение свободного падения $g = 9,8 м/с^{2}$. Электрическая постоянная $\epsilon_{0} = 8,85 \cdot 10^{-12} Ф/м$.
1) Определите период $T$ малых свободных колебаний шариков.
2) К точкам крепления проволок подключают источник напряжения $U$ с большим внутренним сопротивлением $R = 10^{15} Ом$. При каком значении $U = U_{min}$ шарики столкнутся через некоторое время?
3) Найдите время $t_{0}$, через которое разность потенциалов между шариками достигнет значения $U_{min}$, если $U = U_{0} = 1,0 \cdot 10^{6} B$.
Решение:
1) Период колебаний каждого шарика равен
$T = 2 \pi \sqrt{ \frac{l}{g} } = 2,0 c$.
2) Шарики считаем точечными зарядами. При отклонении проволок от вертикали на небольшой угол $\alpha$ ($\sin \alpha \approx tg \alpha \approx \alpha$) в сторону сближения сила кулоновского притяжения $F_{K} = \frac{kq^{2}}{(d - 2 \alpha l )^{2}}$ уравновешивается равнодействующей сил тяжести и натяжения проволок $F_{н} = mg \alpha$:
$k \frac{q^{2} }{(d - 2 \alpha l)^{2} } = mg \alpha$, или $k \frac{q^{2} }{mg} = \alpha (d - 2 \alpha l)^{2} = f( \alpha)$.
Функция $f( \alpha ) = \alpha (d - 2 \alpha l )^{2}$ имеет максимум при $\alpha_{0} = \frac{d}{6l}$. Этому значению соответствует максимальное значение заряда шариков:
$k q_{max}^{2} = mg \alpha_{0} (d - 2 \alpha_{0}l)^{2} = \frac{2mgd^{3}}{27l}$, и $q_{max} = \sqrt{ \frac{2mgd^{3} }{27kl} }$.
Для отклонения шариков на больший, чем $\alpha_{0}$, угол, вплоть до столкновения, требуется меньший заряд, а значит, при сколь угодно незначительном превышении $q_{max}$ шарики под действием кулоновского взаимодействия достаточно быстро притянутся (за время, не превышающее $T$) и, взаимно разрядившись, вновь разойдутся, пока вновь не приобретут необходимый для столкновения критический заряд $q_{max}$. Разность потенциалов между шариками при $q_{max}$ равна минимальному значению напряжения источника, при котором шарики столкнутся:
$U_{min} = \phi_{+} - \phi_{-} = k \frac{q_{max} }{r} - \left ( - k \frac{q_{max} }{r} \right ) = 2 \sqrt{ \frac{2kmgd^{3} }{27lr^{2} } } = 64,6 кВ$.
3) Поскольку $U_{min} \ll U_{0} = 1 MB$, ток заряда можно считать постоянным и равным $I = \frac{U_{0}}{R}$, и время заряда до значения $q_{max}$ можно рассчитать по формуле
$t_{0} = \frac{q_{max} }{I} = \frac{U_{min}r }{2k} \frac{R}{U_{0} } = 18 c$.
