Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13895
2020-04-03 
В архиве лорда Кельвина нашли график циклического процесса, произведенного над неизвестным количеством $\nu$ азота. В координатах ($C, T$), где $C$ - теплоемкость газа, а $T$ - температура, график цикла abefcbeda представляет собой четыре отрезка (рис.). К сожалению, положение начала координат оказалось утраченным. Пояснительные записи указывали, что $C_{d} = 1,000 Дж/К, C_{a} = 0,715 Дж/К$, а также что
$T_{c} - T_{d} = 2 (T_{b} - T_{a} ) = 200 K$ и $\frac{p_{c} }{p_{a} } = \frac{V_{c} }{V_{a} }$.
1) Найдите работу газа $A$ за цикл и КПД цикла $\eta$.
2) Определите значения температуры $T_{a}, T_{b}$ и $T_{c}$.
3) Нарисуйте график цикла в координатах ($p, V$) и определите количество вещества $\nu$.
Примечание. Процесс с постоянной теплоемкостью $C$ называется политропным, и для него справедливо соотношение $pV^{n} = const$, где $n$ - постоянная (показатель) политропы.
Решение:
Качественно изобразим процесс на графике в привычных ($p, V$) координатах (рис.). График состоит из четырех политроп: процессу ab соответствует процесс 1-2, ef - 2-3, cb - 3-4, ed - 4-1. Также важно отметить, что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме ( $T_{2} = T_{4} = T_{b}$).
1) Поскольку количество теплоты, переданное газу в процессе с постоянной теплоемкостью, равно $Q = C \Delta T$, то в координатах ($C, T$) количество теплоты процесса численно равно площади под графиком. Из графика видно, что на участках 1-2 и 2-3 тепло подводится, а на участках 3-4 и 4-1 - отводится. Полное подведенное количество теплоты $Q_{+}$ и отданное количество теплоты $Q_{-}$ равны, соответственно,
$Q_{+} = Q_{12} + Q_{23} = C_{a} ( T_{2} - T_{1}) + C_{d} ( T_{3} - T_{2}) = 271,5 Дж$,
$Q_{-} = Q_{34} + Q_{41} = C_{a} ( T_{3} - T_{2}) - C_{d} ( T_{2} - T_{1}) = - 243 Дж$.
По первому началу термодинамики полное количество теплоты в цикле равно работе, совершенной газом:
$A = Q_{+} + Q_{-} = 28,5 Дж$, тогда $\eta = \frac{A}{Q_{+} } = 0,105$.
2) Из уравнения политропы и уравнения состояния идеального газа $\frac{pV}{T} = const$ следует связь между $T$ и $V$:
$TV^{n - 1} = const$, или $\left ( \frac{T}{T_{0} } \right )^{ \frac{1}{1 - n} } = \frac{V}{V_{0} }$.
Запишем это соотношение для четырех процессов:
$\left ( \frac{T_{1} }{T_{2} } \right )^{ \frac{1}{1 - n_{a} } } = \frac{V_{1} }{V_{2} }, \left ( \frac{T_{2} }{T_{3} } \right )^{ \frac{1}{1 - n_{d} } } = \frac{V_{2} }{V_{3} }, \left ( \frac{T_{3} }{T_{4} } \right )^{ \frac{1}{1 - n_{a} } } = \frac{V_{3} }{V_{4} }, \left ( \frac{T_{4} }{T_{1} } \right )^{ \frac{1}{1 - n_{d} } } = \frac{V_{4} }{V_{1} }$.
Перемножим все равенства и найдем
$\left ( \frac{T_{1}T_{3} }{T_{2}T_{4} } \right )^{ \frac{n_{a} - n_{d} }{(1 - n_{a} )(1 - n_{d} )} } = 1$, или $T_{1}T_{3} = T_{2}T_{4} = T_{2}^{2}$.
Поскольку $T_{2} = T_{1} + T_{0}$ и $T_{3} = T_{1} + 3T_{0}$, где $T_{0} = 100 К$, то $T_{1} (T_{1} + 3T_{0}) = (T_{1} + T_{0} )^{2}$, откуда $T_{1} = T_{0}$. Таким образом,
$T_{a} = T_{1} = 100 К, T_{b} = T_{2} = 200 К$ и $T_{c} = T_{3} = 400 К$.
3) Найдем связь между показателем политропы и и теплоемкостью $C$. Дифференцируя уравнение политропы, получим связь между приращениями $\Delta V$ и $\Delta T$:
$V^{n-1} \Delta T + (n - 1)TV^{n - 2} \Delta V = 0$, или $\Delta V = \frac{ \Delta T}{1 - n} \frac{V}{T}$.
Запишем первый закон термодинамики:
$\Delta Q = C \Delta T = \Delta U + A = C_{V} \Delta T + p \Delta V = C_{V} \Delta T + p \frac{ \Delta T}{1 - n} \frac{V}{T}$,
или
$(C - C_{V} ) \Delta T = \frac{ \Delta T}{1 - n} \frac{pV}{T} = \frac{ \nu R \Delta T}{1 - n}$.
Таким образом,
$n = 1 - \frac{ \nu R}{C - C_{V}} = \frac{C - C_{p}}{C - C_{V} }$.
Взяв логарифм от уравнения политропы, получим
$ln \frac{p}{p_{0} } + n ln \frac{V}{V_{0} } = const$,
откуда следует, что в координатах $xy$, где $x = ln \frac{V}{V_{0}}$, а $y = ln \frac{p}{p_{0} }$, график политропы представляет прямую с наклоном $n$, следовательно, график всего цикла будет параллелограммом, у которого точки 2 и 4 лежат на прямой $x +yy = const$ (рис.). Из условия $\frac{p_{1} }{p_{3} } = \frac{V_{1}}{V_{3}}$ находим, что точки 1 и 3 лежат на прямой $x - y = const$. Таким образом, диагонали параллелограмма перпендикулярны, следовательно, график цикла является ромбом. Поскольку диагональ 1—3 ромба является биссектрисой, углы наклона политроп в сумме дают $90^{ \circ}$, откуда следует, что произведение угловых коэффициентов равно 1:
$n_{a}n_{d} = \frac{C_{p} - C_{a} }{C_{a} - C_{V} } \frac{C_{p} - C_{d} }{C_{d} - C_{V} } = 1$, откуда $C_{a} + C_{d} = C_{p} + C_{V} = \nu (c_{p} + c_{V} )$,
где $c_{p} = \frac{7}{2} R$ и $c_{V} = \frac{5}{2} R$ - молярные теплоемкости азота. Окончательно найдем
$\nu = \frac{C_{a} + C_{d}}{c_{p} + c_{V} } = 34,4 моль$.
Заметим, что $C_{a} = \nu c_{v}$, а $C_{d} = \nu c_{p}$, следовательно, цикл процесса состоит из двух изобар и двух изохор (рис.).
В архиве лорда Кельвина нашли график циклического процесса, произведенного над неизвестным количеством $\nu$ азота. В координатах ($C, T$), где $C$ - теплоемкость газа, а $T$ - температура, график цикла abefcbeda представляет собой четыре отрезка (рис.). К сожалению, положение начала координат оказалось утраченным. Пояснительные записи указывали, что $C_{d} = 1,000 Дж/К, C_{a} = 0,715 Дж/К$, а также что
$T_{c} - T_{d} = 2 (T_{b} - T_{a} ) = 200 K$ и $\frac{p_{c} }{p_{a} } = \frac{V_{c} }{V_{a} }$.
1) Найдите работу газа $A$ за цикл и КПД цикла $\eta$.
2) Определите значения температуры $T_{a}, T_{b}$ и $T_{c}$.
3) Нарисуйте график цикла в координатах ($p, V$) и определите количество вещества $\nu$.
Примечание. Процесс с постоянной теплоемкостью $C$ называется политропным, и для него справедливо соотношение $pV^{n} = const$, где $n$ - постоянная (показатель) политропы.
Решение:
Качественно изобразим процесс на графике в привычных ($p, V$) координатах (рис.). График состоит из четырех политроп: процессу ab соответствует процесс 1-2, ef - 2-3, cb - 3-4, ed - 4-1. Также важно отметить, что точки 2 и 4 лежат на одной изотерме ( $T_{2} = T_{4} = T_{b}$).
1) Поскольку количество теплоты, переданное газу в процессе с постоянной теплоемкостью, равно $Q = C \Delta T$, то в координатах ($C, T$) количество теплоты процесса численно равно площади под графиком. Из графика видно, что на участках 1-2 и 2-3 тепло подводится, а на участках 3-4 и 4-1 - отводится. Полное подведенное количество теплоты $Q_{+}$ и отданное количество теплоты $Q_{-}$ равны, соответственно,
$Q_{+} = Q_{12} + Q_{23} = C_{a} ( T_{2} - T_{1}) + C_{d} ( T_{3} - T_{2}) = 271,5 Дж$,
$Q_{-} = Q_{34} + Q_{41} = C_{a} ( T_{3} - T_{2}) - C_{d} ( T_{2} - T_{1}) = - 243 Дж$.
По первому началу термодинамики полное количество теплоты в цикле равно работе, совершенной газом:
$A = Q_{+} + Q_{-} = 28,5 Дж$, тогда $\eta = \frac{A}{Q_{+} } = 0,105$.
2) Из уравнения политропы и уравнения состояния идеального газа $\frac{pV}{T} = const$ следует связь между $T$ и $V$:
$TV^{n - 1} = const$, или $\left ( \frac{T}{T_{0} } \right )^{ \frac{1}{1 - n} } = \frac{V}{V_{0} }$.
Запишем это соотношение для четырех процессов:
$\left ( \frac{T_{1} }{T_{2} } \right )^{ \frac{1}{1 - n_{a} } } = \frac{V_{1} }{V_{2} }, \left ( \frac{T_{2} }{T_{3} } \right )^{ \frac{1}{1 - n_{d} } } = \frac{V_{2} }{V_{3} }, \left ( \frac{T_{3} }{T_{4} } \right )^{ \frac{1}{1 - n_{a} } } = \frac{V_{3} }{V_{4} }, \left ( \frac{T_{4} }{T_{1} } \right )^{ \frac{1}{1 - n_{d} } } = \frac{V_{4} }{V_{1} }$.
Перемножим все равенства и найдем
$\left ( \frac{T_{1}T_{3} }{T_{2}T_{4} } \right )^{ \frac{n_{a} - n_{d} }{(1 - n_{a} )(1 - n_{d} )} } = 1$, или $T_{1}T_{3} = T_{2}T_{4} = T_{2}^{2}$.
Поскольку $T_{2} = T_{1} + T_{0}$ и $T_{3} = T_{1} + 3T_{0}$, где $T_{0} = 100 К$, то $T_{1} (T_{1} + 3T_{0}) = (T_{1} + T_{0} )^{2}$, откуда $T_{1} = T_{0}$. Таким образом,
$T_{a} = T_{1} = 100 К, T_{b} = T_{2} = 200 К$ и $T_{c} = T_{3} = 400 К$.
3) Найдем связь между показателем политропы и и теплоемкостью $C$. Дифференцируя уравнение политропы, получим связь между приращениями $\Delta V$ и $\Delta T$:
$V^{n-1} \Delta T + (n - 1)TV^{n - 2} \Delta V = 0$, или $\Delta V = \frac{ \Delta T}{1 - n} \frac{V}{T}$.
Запишем первый закон термодинамики:
$\Delta Q = C \Delta T = \Delta U + A = C_{V} \Delta T + p \Delta V = C_{V} \Delta T + p \frac{ \Delta T}{1 - n} \frac{V}{T}$,
или
$(C - C_{V} ) \Delta T = \frac{ \Delta T}{1 - n} \frac{pV}{T} = \frac{ \nu R \Delta T}{1 - n}$.
Таким образом,
$n = 1 - \frac{ \nu R}{C - C_{V}} = \frac{C - C_{p}}{C - C_{V} }$.
Взяв логарифм от уравнения политропы, получим
$ln \frac{p}{p_{0} } + n ln \frac{V}{V_{0} } = const$,
откуда следует, что в координатах $xy$, где $x = ln \frac{V}{V_{0}}$, а $y = ln \frac{p}{p_{0} }$, график политропы представляет прямую с наклоном $n$, следовательно, график всего цикла будет параллелограммом, у которого точки 2 и 4 лежат на прямой $x +yy = const$ (рис.). Из условия $\frac{p_{1} }{p_{3} } = \frac{V_{1}}{V_{3}}$ находим, что точки 1 и 3 лежат на прямой $x - y = const$. Таким образом, диагонали параллелограмма перпендикулярны, следовательно, график цикла является ромбом. Поскольку диагональ 1—3 ромба является биссектрисой, углы наклона политроп в сумме дают $90^{ \circ}$, откуда следует, что произведение угловых коэффициентов равно 1:
$n_{a}n_{d} = \frac{C_{p} - C_{a} }{C_{a} - C_{V} } \frac{C_{p} - C_{d} }{C_{d} - C_{V} } = 1$, откуда $C_{a} + C_{d} = C_{p} + C_{V} = \nu (c_{p} + c_{V} )$,
где $c_{p} = \frac{7}{2} R$ и $c_{V} = \frac{5}{2} R$ - молярные теплоемкости азота. Окончательно найдем
$\nu = \frac{C_{a} + C_{d}}{c_{p} + c_{V} } = 34,4 моль$.
Заметим, что $C_{a} = \nu c_{v}$, а $C_{d} = \nu c_{p}$, следовательно, цикл процесса состоит из двух изобар и двух изохор (рис.).
