Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13894
2020-04-03 
Температура плавления массивного образца олова равна $t_{0} = 232^{ \circ} C$. Температура плавления мельчайших оловянных шариков диаметром $d = 20 нм$ оказывается на 25 градусов ниже и равна $t_{d} = 207^{ \circ} C$. Это - так называемый размерный эффект, причем экспериментально установлено, что температура плавления зависит не только от размеров, но и от формы образца. При какой температуре будет плавиться оловянная фольга толщиной $h = d$? Считайте, что атомы олова в приповерхностном слое толщиной в 2-3 межатомных расстояния обладают некоторой избыточной энергией по сравнению с энергией атомов в объеме, а теплота плавления $\lambda$ в пересчете на один атом пропорциональна средней энергии связи $U$ атомов в веществе и абсолютной температуре $T$ фазового перехода (плавления): $\lambda \sim U \sim T$. Молярная масса олова $M = 119 г/моль$, плотность олова $\rho = 7,31 г/см^{3}$.
Решение:
Уменьшение температуры плавления для нанообъектов связано с увеличением (при уменьшении объема) доли приповерхностных атомов, обладающих избыточной энергией $\Delta U$ по сравнению с объемными атомами. Для образцов различной формы эти доли оказываются разными. Для шариков доля атомов в приповерхностном слое толщиной $\delta$ равна
$\frac{ \Delta N}{N} = \frac{ \Delta V}{V} = \frac{4 \pi R^{2} \delta }{ \frac{4 \pi R^{3} }{3} } = \frac{3 \delta }{R} = \frac{6 \delta}{d}$.
Оценим толщину приповерхностного слоя. Объем, приходящийся на один атом олова, равен
$v = \frac{1}{ \rho} \frac{M}{N_{A} }$,
а следовательно, характерное межатомное расстояние равно
$a = \sqrt[3]{v} \approx 1,86 нм$.
Приповерхностный слой в таком случае имеет размеры порядка 4-6 нм, что существенно меньше 20 нм. Теплота плавления уменьшается на величину избыточной энергии всех приповерхностных атомов:
$\Delta q_{0} = \Delta U \Delta N = \Delta UN \frac{6 \delta}{d}$.
Новая теплота плавления равна
$q = q_{0} - \Delta q_{0} = q_{0} - \frac{( \Delta U N)6 \delta }{d}$,
или, в пересчете на атом,
$\frac{q}{N} = \frac{q_{0}}{N} - \Delta U \left ( \frac{6 \delta }{d} \right )$.
Учитывая, что $\frac{q}{N} = \alpha T_{d}$ и $\frac{q_{0}}{N} = \alpha T_{0}$ ( $\alpha$ - коэффициент пропорциональности), получаем относительное понижение температуры плавления наношарика по сравнению с массивным образцом:
$\frac{ \Delta T_{d}}{T_{0} } = \frac{ \Delta U}{ \alpha T_{0} } \frac{6 \delta }{d}$.
Доля атомов в приповерхностном слое толщиной $\delta$ фольги площадью $S$ составляет
$\frac{ \Delta N}{N} = \frac{ \Delta V}{V} = \frac{2S \delta}{Sh} = \frac{2 \delta}{h} = \frac{2 \delta}{d}$.
Соответственно, относительное понижение температуры плавления фольги равно
$\frac{ \Delta T_{h} }{T_{0} } = \frac{ \Delta U}{ \alpha T_{0} } \frac{2 \delta }{d} = \frac{ \Delta T_{d} }{ \Delta T_{h} } = 3$.
Это соотношение хорошо подтверждается экспериментально:
$\Delta T_{h} = \frac{1}{3} \Delta T_{d} \approx 8,30^{ \circ} C$, или $t_{k} = t_{0} - \Delta T_{h} = 223,7^{ \circ} C$.
Температура плавления массивного образца олова равна $t_{0} = 232^{ \circ} C$. Температура плавления мельчайших оловянных шариков диаметром $d = 20 нм$ оказывается на 25 градусов ниже и равна $t_{d} = 207^{ \circ} C$. Это - так называемый размерный эффект, причем экспериментально установлено, что температура плавления зависит не только от размеров, но и от формы образца. При какой температуре будет плавиться оловянная фольга толщиной $h = d$? Считайте, что атомы олова в приповерхностном слое толщиной в 2-3 межатомных расстояния обладают некоторой избыточной энергией по сравнению с энергией атомов в объеме, а теплота плавления $\lambda$ в пересчете на один атом пропорциональна средней энергии связи $U$ атомов в веществе и абсолютной температуре $T$ фазового перехода (плавления): $\lambda \sim U \sim T$. Молярная масса олова $M = 119 г/моль$, плотность олова $\rho = 7,31 г/см^{3}$.
Решение:
Уменьшение температуры плавления для нанообъектов связано с увеличением (при уменьшении объема) доли приповерхностных атомов, обладающих избыточной энергией $\Delta U$ по сравнению с объемными атомами. Для образцов различной формы эти доли оказываются разными. Для шариков доля атомов в приповерхностном слое толщиной $\delta$ равна
$\frac{ \Delta N}{N} = \frac{ \Delta V}{V} = \frac{4 \pi R^{2} \delta }{ \frac{4 \pi R^{3} }{3} } = \frac{3 \delta }{R} = \frac{6 \delta}{d}$.
Оценим толщину приповерхностного слоя. Объем, приходящийся на один атом олова, равен
$v = \frac{1}{ \rho} \frac{M}{N_{A} }$,
а следовательно, характерное межатомное расстояние равно
$a = \sqrt[3]{v} \approx 1,86 нм$.
Приповерхностный слой в таком случае имеет размеры порядка 4-6 нм, что существенно меньше 20 нм. Теплота плавления уменьшается на величину избыточной энергии всех приповерхностных атомов:
$\Delta q_{0} = \Delta U \Delta N = \Delta UN \frac{6 \delta}{d}$.
Новая теплота плавления равна
$q = q_{0} - \Delta q_{0} = q_{0} - \frac{( \Delta U N)6 \delta }{d}$,
или, в пересчете на атом,
$\frac{q}{N} = \frac{q_{0}}{N} - \Delta U \left ( \frac{6 \delta }{d} \right )$.
Учитывая, что $\frac{q}{N} = \alpha T_{d}$ и $\frac{q_{0}}{N} = \alpha T_{0}$ ( $\alpha$ - коэффициент пропорциональности), получаем относительное понижение температуры плавления наношарика по сравнению с массивным образцом:
$\frac{ \Delta T_{d}}{T_{0} } = \frac{ \Delta U}{ \alpha T_{0} } \frac{6 \delta }{d}$.
Доля атомов в приповерхностном слое толщиной $\delta$ фольги площадью $S$ составляет
$\frac{ \Delta N}{N} = \frac{ \Delta V}{V} = \frac{2S \delta}{Sh} = \frac{2 \delta}{h} = \frac{2 \delta}{d}$.
Соответственно, относительное понижение температуры плавления фольги равно
$\frac{ \Delta T_{h} }{T_{0} } = \frac{ \Delta U}{ \alpha T_{0} } \frac{2 \delta }{d} = \frac{ \Delta T_{d} }{ \Delta T_{h} } = 3$.
Это соотношение хорошо подтверждается экспериментально:
$\Delta T_{h} = \frac{1}{3} \Delta T_{d} \approx 8,30^{ \circ} C$, или $t_{k} = t_{0} - \Delta T_{h} = 223,7^{ \circ} C$.
