Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13893
2020-04-03 
Тонкую невесомую пружину, растянутую на некоторую величину $\Delta l_{1}$, закрепили на гладком горизонтальном столе в точках A и B. Отношение периодов малых поперечных (рис.) и продольных (рис.) колебаний небольшого грузика, расположенного посередине пружины, равно $n_{1} = 4$. После того как деформацию пружины увеличили на $\Delta x = 3,5 см$, отношение периодов стало равно $n_{2} = 3$. Найдите длину нерастянутой пружины $l_{0}$, а также значения деформации $\Delta l_{1}$ в первом и $\Delta l_{2}$ во втором случаях. Считайте, что пружина в условиях опыта подчиняется закону Гука.
Решение:
Если жесткость всей пружины длиной $l$ равна $k$, то период продольных колебаний грузика можно найти по формуле
$T_{прод}^{2} = 4 \pi^{2} \frac{m}{4k}$,
где $m$ - масса грузика. Уравнение движения грузика в поперечном направлении имеет вид
$m \phi^{ \prime \prime} \frac{l}{2} = -2F_{упр} \phi = - 2k \Delta l \phi$, или $\phi^{ \prime \prime} + \frac{4k \Delta l}{ml} \phi = 0$.
Мы получили уравнение гармонических колебаний с циклической частотой $\omega_{попер}, \omega_{попер}^{2} = \frac{4k \Delta l}{ml}$, или с периодом $T_{попер}$ таким, что
$T_{попер}^{2} = 4 \pi^{2} \frac{ml}{4k \Delta l} = 4 \pi^{2} \frac{m}{4k} \left ( 1 + \frac{l_{0} }{ \Delta l} \right )$.
Отношение квадратов периодов равно
$\frac{T_{повер}^{2} }{T_{прод}^{2} } = n^{2} = 1 + \frac{l_{0} }{ \Delta l}$, откуда $\frac{ \Delta l}{l_{0} } = \frac{1}{n^{2} - 1 }$.
Поскольку $\Delta x = \Delta l_{2} - \Delta l_{1}$, то
$\frac{ \Delta x}{l_{0} } = \frac{1}{n_{2}^{2} - 1 } - \frac{1}{n_{1}^{2} - 1 } = \frac{n_{1}^{2} - n_{2}^{2}}{(n_{2}^{2} - 1 )(n_{1}^{2} - 1 ) }$,
откуда получаем
$l_{0} = \frac{(n_{2}^{2} - 1 )(n_{1}^{2} - 1 )}{n_{1}^{2} - n_{2}^{2} } \Delta x = 60 см$,
$\Delta l_{1} = \frac{l_{0} }{n_{1}^{2} - 1 } = 4 см , \Delta l_{2} = \frac{l_{0} }{n_{2}^{2} - 1 } = 7,5 см$.
Тонкую невесомую пружину, растянутую на некоторую величину $\Delta l_{1}$, закрепили на гладком горизонтальном столе в точках A и B. Отношение периодов малых поперечных (рис.) и продольных (рис.) колебаний небольшого грузика, расположенного посередине пружины, равно $n_{1} = 4$. После того как деформацию пружины увеличили на $\Delta x = 3,5 см$, отношение периодов стало равно $n_{2} = 3$. Найдите длину нерастянутой пружины $l_{0}$, а также значения деформации $\Delta l_{1}$ в первом и $\Delta l_{2}$ во втором случаях. Считайте, что пружина в условиях опыта подчиняется закону Гука.
Решение:
Если жесткость всей пружины длиной $l$ равна $k$, то период продольных колебаний грузика можно найти по формуле
$T_{прод}^{2} = 4 \pi^{2} \frac{m}{4k}$,
где $m$ - масса грузика. Уравнение движения грузика в поперечном направлении имеет вид
$m \phi^{ \prime \prime} \frac{l}{2} = -2F_{упр} \phi = - 2k \Delta l \phi$, или $\phi^{ \prime \prime} + \frac{4k \Delta l}{ml} \phi = 0$.
Мы получили уравнение гармонических колебаний с циклической частотой $\omega_{попер}, \omega_{попер}^{2} = \frac{4k \Delta l}{ml}$, или с периодом $T_{попер}$ таким, что
$T_{попер}^{2} = 4 \pi^{2} \frac{ml}{4k \Delta l} = 4 \pi^{2} \frac{m}{4k} \left ( 1 + \frac{l_{0} }{ \Delta l} \right )$.
Отношение квадратов периодов равно
$\frac{T_{повер}^{2} }{T_{прод}^{2} } = n^{2} = 1 + \frac{l_{0} }{ \Delta l}$, откуда $\frac{ \Delta l}{l_{0} } = \frac{1}{n^{2} - 1 }$.
Поскольку $\Delta x = \Delta l_{2} - \Delta l_{1}$, то
$\frac{ \Delta x}{l_{0} } = \frac{1}{n_{2}^{2} - 1 } - \frac{1}{n_{1}^{2} - 1 } = \frac{n_{1}^{2} - n_{2}^{2}}{(n_{2}^{2} - 1 )(n_{1}^{2} - 1 ) }$,
откуда получаем
$l_{0} = \frac{(n_{2}^{2} - 1 )(n_{1}^{2} - 1 )}{n_{1}^{2} - n_{2}^{2} } \Delta x = 60 см$,
$\Delta l_{1} = \frac{l_{0} }{n_{1}^{2} - 1 } = 4 см , \Delta l_{2} = \frac{l_{0} }{n_{2}^{2} - 1 } = 7,5 см$.
