Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13892
2020-04-03 
Две материальные точки с массами $m$ и $M$ ($M > m$) и одинаковыми положительными зарядами $q$ находятся на расстоянии $l$ друг от друга в однородном электрическом поле $\vec{E}$, направленном от $m$ к $M$ (рис.). В начальный момент скорости точек равны нулю. Найдите максимальное расстояние между точками при их дальнейшем движении. Считайте, что точки все время движутся вдоль одной прямой.
Решение:
Из второго закона Ньютона найдем ускорение точки массой $m$:
$a_{1} = - k \frac{q^{2} }{mr^{2} } + \frac{qE}{m}$
и ускорение точки массой $M$:
$a_{2} = k \frac{q^{2} }{Mr^{2} } + \frac{qE}{M}$.
Здесь $r$ - расстояние между точками, $k$ - коэффициент в законе Кулона, за положительное выбрано направление от $m$ к $M$. Найдем относительное ускорение точек:
$a_{отн} = a_{2} - a_{1} = k \frac{q^{2}}{r^{2} } \frac{M + m}{Mm} - qE \frac{M - m}{mM}$.
Таким же уравнением описывается движение точечного заряда $q$ массой $\mu = \frac{M + m}{Mm}$, находящегося в поле неподвижного точечного заряда $q$ и в однородном поле $- E_{1} = - E \frac{M - m}{M + m}$. Будем рассматривать эту эквивалентную задачу. Потенциальная энергия заряда равна
$U(r) = k \frac{q^{2}}{r} + qE_{1}r$.
Из графика зависимости $U(r)$ (рис.) видим, что движение заряда происходит в ограниченной области $l_{1} \leq r \leq l_{2}$, где $l_{1}$ и $l_{2}$ - корни уравнения
$U_{0} = k \frac{q^{2} }{r} + qE_{1}r$, или $r^{2} - \frac{U_{0}}{qE_{1}} r + \frac{kq}{E_{1}} = 0$.
По теореме Виета произведение корней не зависит от $U_{0}$ и равно $l_{1}l_{2} = l_{0}^{2}$, где $l_{0} = \sqrt{ \frac{kq}{E_{1}}}$. Таким образом, получаем, что если начальное расстояние $l$ меньше $l_{0}$, то расстояние между зарядами будет увеличиваться до максимального значения $l_{0}$, а затем уменьшаться. Если же $l > l_{0}$, то начальное расстояние $l$ и будет максимальным. При $l = l_{0}$ расстояние между зарядами меняться не будет.
Две материальные точки с массами $m$ и $M$ ($M > m$) и одинаковыми положительными зарядами $q$ находятся на расстоянии $l$ друг от друга в однородном электрическом поле $\vec{E}$, направленном от $m$ к $M$ (рис.). В начальный момент скорости точек равны нулю. Найдите максимальное расстояние между точками при их дальнейшем движении. Считайте, что точки все время движутся вдоль одной прямой.
Решение:
Из второго закона Ньютона найдем ускорение точки массой $m$:
$a_{1} = - k \frac{q^{2} }{mr^{2} } + \frac{qE}{m}$
и ускорение точки массой $M$:
$a_{2} = k \frac{q^{2} }{Mr^{2} } + \frac{qE}{M}$.
Здесь $r$ - расстояние между точками, $k$ - коэффициент в законе Кулона, за положительное выбрано направление от $m$ к $M$. Найдем относительное ускорение точек:
$a_{отн} = a_{2} - a_{1} = k \frac{q^{2}}{r^{2} } \frac{M + m}{Mm} - qE \frac{M - m}{mM}$.
Таким же уравнением описывается движение точечного заряда $q$ массой $\mu = \frac{M + m}{Mm}$, находящегося в поле неподвижного точечного заряда $q$ и в однородном поле $- E_{1} = - E \frac{M - m}{M + m}$. Будем рассматривать эту эквивалентную задачу. Потенциальная энергия заряда равна
$U(r) = k \frac{q^{2}}{r} + qE_{1}r$.
Из графика зависимости $U(r)$ (рис.) видим, что движение заряда происходит в ограниченной области $l_{1} \leq r \leq l_{2}$, где $l_{1}$ и $l_{2}$ - корни уравнения
$U_{0} = k \frac{q^{2} }{r} + qE_{1}r$, или $r^{2} - \frac{U_{0}}{qE_{1}} r + \frac{kq}{E_{1}} = 0$.
По теореме Виета произведение корней не зависит от $U_{0}$ и равно $l_{1}l_{2} = l_{0}^{2}$, где $l_{0} = \sqrt{ \frac{kq}{E_{1}}}$. Таким образом, получаем, что если начальное расстояние $l$ меньше $l_{0}$, то расстояние между зарядами будет увеличиваться до максимального значения $l_{0}$, а затем уменьшаться. Если же $l > l_{0}$, то начальное расстояние $l$ и будет максимальным. При $l = l_{0}$ расстояние между зарядами меняться не будет.
