Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13890
2020-04-03 
При охлаждении одного моля гелия от начальной температуры $T_{0}$ до некоторой конечной температуры $T_{x}$ в процессе с теплоемкостью $C$, прямо пропорциональной температуре $T$, газ совершил работу, равную нулю. В самом начале процесса охлаждения давление газа изменялось прямо пропорционально его объему. Найдите величину положительной работы газа в данном процессе и отношение $\frac{T_{x}}{T_{0}}$.
Решение:
Согласно первому закону термодинамики,
$Q = \Delta U + A$.
Работу газа на начальном этапе охлаждения найдем, вычислив площадь под графиком (рис.):
$A = - \frac{1}{2} (p_{0}V_{0} - p_{1}V_{1}) = - \frac{1}{2}(RT_{0} - RT_{1}) = \frac{R}{2} \Delta T$.
В начале процесса охлаждения теплоемкость равнялась
$\frac{ \delta Q}{ \Delta T} = \frac{ \Delta U + \delta A}{ \Delta T} = C_{V} + \frac{R}{2} = \frac{3}{2}R + \frac{R}{2} = 2R$,
следовательно, теплоемкость рассматриваемого процесса равна
$C = 2R \frac{T}{T_{0} }$.
Работа газа будет отрицательной до тех пор, пока газ не примет минимальный объем - точка C на рисунке. В этой точке $\Delta V = 0$, а значит,
$C = C_{V} + p \frac{ \Delta V}{ \Delta T} = C_{V} = \frac{3}{2}R$.
Из последних двух равенств найдем температуру $T_{C}$, при которой объем газа достигает своего минимума:
$T_{C} = \frac{3}{4} T_{0}$.
Так как суммарная работа газа равна нулю, то положительная работа $A_{+}$ (площадь под участком CX графика) равна по модулю отрицательной работе $A_{-}$ (площади под участком OC графика). Найдем искомую работу газа, воспользовавшись первым законом термодинамики:
$Q_{OC} = \Delta U + A_{OC}$,
где $Q_{OC}$ - количество теплоты, полученное газом на участке OC. Его найдем как площадь под графиком $C(T)$. Поскольку график линейный, то
$Q_{OC} = - \frac{2R}{T_{0}} \frac{T_{0}^{2} - T_{C}^{2} }{2} = - \frac{7}{16} RT_{0}$.
Изменение внутренней энергии на этом же участке равно
$\Delta U = U_{C} - U_{0} = C_{V} (T_{C} - T_{0} ) = - \frac{3}{8} RT_{0}$.
Отсюда
$A_{OC} = Q_{OC} - \Delta U = - \frac{RT_{0} }{16}$, и $A_{CX} = - A_{OC} = \frac{RT_{0} }{16}$.
Теперь найдем температуру $T_{x}$, при которой работа становится равной нулю:
$A = Q - \Delta U = \frac{2R}{T_{0} } \frac{T_{x}^{2} - T_{0}^{2} }{2} - C_{V} (T_{x} - T_{0} ) = \frac{R}{T_{0} } (T_{x} - T_{0} ) \left ( T_{x} + T_{0} - \frac{3}{2}T_{0} \right ) = 0$,
откуда
$\frac{T_{x} }{T_{0} } = \frac{1}{2}$.
При охлаждении одного моля гелия от начальной температуры $T_{0}$ до некоторой конечной температуры $T_{x}$ в процессе с теплоемкостью $C$, прямо пропорциональной температуре $T$, газ совершил работу, равную нулю. В самом начале процесса охлаждения давление газа изменялось прямо пропорционально его объему. Найдите величину положительной работы газа в данном процессе и отношение $\frac{T_{x}}{T_{0}}$.
Решение:
Согласно первому закону термодинамики,
$Q = \Delta U + A$.
Работу газа на начальном этапе охлаждения найдем, вычислив площадь под графиком (рис.):
$A = - \frac{1}{2} (p_{0}V_{0} - p_{1}V_{1}) = - \frac{1}{2}(RT_{0} - RT_{1}) = \frac{R}{2} \Delta T$.
В начале процесса охлаждения теплоемкость равнялась
$\frac{ \delta Q}{ \Delta T} = \frac{ \Delta U + \delta A}{ \Delta T} = C_{V} + \frac{R}{2} = \frac{3}{2}R + \frac{R}{2} = 2R$,
следовательно, теплоемкость рассматриваемого процесса равна
$C = 2R \frac{T}{T_{0} }$.
Работа газа будет отрицательной до тех пор, пока газ не примет минимальный объем - точка C на рисунке. В этой точке $\Delta V = 0$, а значит,
$C = C_{V} + p \frac{ \Delta V}{ \Delta T} = C_{V} = \frac{3}{2}R$.
Из последних двух равенств найдем температуру $T_{C}$, при которой объем газа достигает своего минимума:
$T_{C} = \frac{3}{4} T_{0}$.
Так как суммарная работа газа равна нулю, то положительная работа $A_{+}$ (площадь под участком CX графика) равна по модулю отрицательной работе $A_{-}$ (площади под участком OC графика). Найдем искомую работу газа, воспользовавшись первым законом термодинамики:
$Q_{OC} = \Delta U + A_{OC}$,
где $Q_{OC}$ - количество теплоты, полученное газом на участке OC. Его найдем как площадь под графиком $C(T)$. Поскольку график линейный, то
$Q_{OC} = - \frac{2R}{T_{0}} \frac{T_{0}^{2} - T_{C}^{2} }{2} = - \frac{7}{16} RT_{0}$.
Изменение внутренней энергии на этом же участке равно
$\Delta U = U_{C} - U_{0} = C_{V} (T_{C} - T_{0} ) = - \frac{3}{8} RT_{0}$.
Отсюда
$A_{OC} = Q_{OC} - \Delta U = - \frac{RT_{0} }{16}$, и $A_{CX} = - A_{OC} = \frac{RT_{0} }{16}$.
Теперь найдем температуру $T_{x}$, при которой работа становится равной нулю:
$A = Q - \Delta U = \frac{2R}{T_{0} } \frac{T_{x}^{2} - T_{0}^{2} }{2} - C_{V} (T_{x} - T_{0} ) = \frac{R}{T_{0} } (T_{x} - T_{0} ) \left ( T_{x} + T_{0} - \frac{3}{2}T_{0} \right ) = 0$,
откуда
$\frac{T_{x} }{T_{0} } = \frac{1}{2}$.
