Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13888
2020-04-03 
Игрушечная катапульта может стрелять сразу двумя шариками, выпуская их с одинаковыми по модулю начальными скоростями $v_{0}$, но направленными под разными углами к горизонту. Угол, под которым запускается один из шариков, можно менять как угодно. Конструкция катапульты такова, что после выстрела с горизонтальной плоскости оба шарика попадают в одну и ту же точку этой плоскости. После большого числа испытаний выяснилось, что максимальное из возможных расстояний между шариками в то время, пока они оба находились в воздухе, достигало $L_{max} = 19 м$. Определите начальную скорость v0 шариков. Примите $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Дальность полета шарика, выпущенного из катапульты под углом $\phi$, равна
$L = \frac{v_{0}^{2}}{g} \sin 2 \phi$.
Так как шарики, имеющие одинаковую начальную скорость, попадают в одну и ту же точку, углы $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ относительно горизонта, под которыми их выпускают, удовлетворяют условию $2 \phi_{1} = 180^{ \circ} - 2 \phi_{2}$, что эквивалентно выражению
$\phi_{1} + \phi_{2} = 90^{ \circ}$.
Иными словами, векторы их начальных скоростей направлены симметрично относительно луча, образующего угол $45^{ \circ}$ с горизонтом (рис.). Время, в течение которого оба шарика находятся в полете, определяется временем полета нижнего шарика (верхний шарик летит дольше):
$t_{п} = \frac{2v_{0} \sin (45^{ \circ} - \alpha )}{g}$.
Перейдем в систему отсчета, начало координат которой совпадает с нижним шариком, а ориентация осей в пространстве неизменна в течение всего полета. В этой системе отсчета верхний шарик движется равномерно и прямолинейно со скоростью
$\Delta v = 2v_{0} \sin \alpha$.
За время $t_{п}$ он успеет удалиться на расстояние
$L = \Delta v t_{п} = \frac{4v_{0}^{2} }{g} \sin \alpha \sin (45^{ \circ} - \alpha ) = \frac{2v_{0}^{2} }{g} ( \cos (2 \alpha - 45^{ \circ} ) - \cos 45^{ \circ} )$.
Максимум этого выражения достигается при $\cos (2 \alpha - 45^{ \circ} ) = 1$, т.е. при угле $\alpha = 22,5^{ \circ}$. Значит,
$L_{max} = \frac{2v_{0}^{2} }{g} \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2} } \right )$,
откуда находим начальную скорость:
$v_{0} = \sqrt{ \frac{L_{max}g }{2 - \sqrt{2} } } = 18м/с$.
Игрушечная катапульта может стрелять сразу двумя шариками, выпуская их с одинаковыми по модулю начальными скоростями $v_{0}$, но направленными под разными углами к горизонту. Угол, под которым запускается один из шариков, можно менять как угодно. Конструкция катапульты такова, что после выстрела с горизонтальной плоскости оба шарика попадают в одну и ту же точку этой плоскости. После большого числа испытаний выяснилось, что максимальное из возможных расстояний между шариками в то время, пока они оба находились в воздухе, достигало $L_{max} = 19 м$. Определите начальную скорость v0 шариков. Примите $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Дальность полета шарика, выпущенного из катапульты под углом $\phi$, равна
$L = \frac{v_{0}^{2}}{g} \sin 2 \phi$.
Так как шарики, имеющие одинаковую начальную скорость, попадают в одну и ту же точку, углы $\phi_{1}$ и $\phi_{2}$ относительно горизонта, под которыми их выпускают, удовлетворяют условию $2 \phi_{1} = 180^{ \circ} - 2 \phi_{2}$, что эквивалентно выражению
$\phi_{1} + \phi_{2} = 90^{ \circ}$.
Иными словами, векторы их начальных скоростей направлены симметрично относительно луча, образующего угол $45^{ \circ}$ с горизонтом (рис.). Время, в течение которого оба шарика находятся в полете, определяется временем полета нижнего шарика (верхний шарик летит дольше):
$t_{п} = \frac{2v_{0} \sin (45^{ \circ} - \alpha )}{g}$.
Перейдем в систему отсчета, начало координат которой совпадает с нижним шариком, а ориентация осей в пространстве неизменна в течение всего полета. В этой системе отсчета верхний шарик движется равномерно и прямолинейно со скоростью
$\Delta v = 2v_{0} \sin \alpha$.
За время $t_{п}$ он успеет удалиться на расстояние
$L = \Delta v t_{п} = \frac{4v_{0}^{2} }{g} \sin \alpha \sin (45^{ \circ} - \alpha ) = \frac{2v_{0}^{2} }{g} ( \cos (2 \alpha - 45^{ \circ} ) - \cos 45^{ \circ} )$.
Максимум этого выражения достигается при $\cos (2 \alpha - 45^{ \circ} ) = 1$, т.е. при угле $\alpha = 22,5^{ \circ}$. Значит,
$L_{max} = \frac{2v_{0}^{2} }{g} \left ( 1 - \frac{1}{ \sqrt{2} } \right )$,
откуда находим начальную скорость:
$v_{0} = \sqrt{ \frac{L_{max}g }{2 - \sqrt{2} } } = 18м/с$.
