Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13886
2020-04-03 
Через тонкое отверстие, проходящее вдоль вертикальной оси цилиндрической сосульки, продета нить, на конце которой закреплен шарик из материала с очень высоким значением теплопроводности. В начале эксперимента шарик нагрет до некоторой температуры $t_{1}$, а температура сосульки равна температуре окружающего воздуха $t_{0} = 0^{ \circ} C$. Из-за таяния льда сосулька опускается вниз (рис.), а талая вода вытекает в виде капель при температуре $t_{0}$. При этом за шариком остается цилиндрический канал площадью $S = 2 см^{2}$.
1) Найдите начальную температуру $t_{1}$ шарика, если в процессе эксперимента сосулька перестала опускаться тогда, когда шарик проплавил канал глубиной $H = 10 см$.
2) Определите скорость $v_{0}$ сосульки на начальной стадии эксперимента, если в момент времени, когда она опустилась на две трети $H$, ее скорость равнялась $v_{2} = 0,1 мм/с$.
Считайте, что мощность теплопередачи пропорциональна разности температур шарика и льда и что вся она идет на плавление льда. Теплоемкость шарика $C = 59,4 Дж/^{ \circ} С$. Удельная теплота плавления льда $\lambda = 330 кДж/(кг \cdot ^{ \circ} С)$. Плотность льда $\rho = 900 кг/м^{3}$.
Решение:
Пусть в некоторый момент температура шарика $t$, а глубина канала $h$. Запишем уравнение теплового баланса:
$C(t_{1} - t) = \lambda m = \lambda \rho Sh$,
где $m$ - масса растопленного льда. Отсюда находим начальную температуру шарика:
$t_{1} = t_{0} + - \frac{SH \rho \lambda}{C} = 100^{ \circ} C$.
Мощность теплопередачи пропорциональна разности температур между шариком и льдом. С другой стороны, скорость опускания сосульки тоже связана с мощностью отводимого от шарика тепла:
$\lambda \rho Sv = \alpha (t - t_{0})$,
где $\alpha$ - постоянный размерный коэффициент. Из уравнения теплового баланса выразим температуру $t$ и подставим ее в последнее выражение:
$\lambda \rho Sv = \alpha \left ( t_{1} - \frac{ \lambda \rho Sh}{C} - t_{0} \right )$, откуда $v = \alpha \left ( \frac{t_{1} - t_{0} }{ \lambda \rho S } + \frac{h}{C} \right )$.
Получается, что скорость сосульки линейно зависит от расстояния, на которое она опустилась (рис.). Тогда в начале эксперимента скорость сосульки была
$v_{0} = 3v_{2} = 0,3 мм/с$.
Через тонкое отверстие, проходящее вдоль вертикальной оси цилиндрической сосульки, продета нить, на конце которой закреплен шарик из материала с очень высоким значением теплопроводности. В начале эксперимента шарик нагрет до некоторой температуры $t_{1}$, а температура сосульки равна температуре окружающего воздуха $t_{0} = 0^{ \circ} C$. Из-за таяния льда сосулька опускается вниз (рис.), а талая вода вытекает в виде капель при температуре $t_{0}$. При этом за шариком остается цилиндрический канал площадью $S = 2 см^{2}$.
1) Найдите начальную температуру $t_{1}$ шарика, если в процессе эксперимента сосулька перестала опускаться тогда, когда шарик проплавил канал глубиной $H = 10 см$.
2) Определите скорость $v_{0}$ сосульки на начальной стадии эксперимента, если в момент времени, когда она опустилась на две трети $H$, ее скорость равнялась $v_{2} = 0,1 мм/с$.
Считайте, что мощность теплопередачи пропорциональна разности температур шарика и льда и что вся она идет на плавление льда. Теплоемкость шарика $C = 59,4 Дж/^{ \circ} С$. Удельная теплота плавления льда $\lambda = 330 кДж/(кг \cdot ^{ \circ} С)$. Плотность льда $\rho = 900 кг/м^{3}$.
Решение:
Пусть в некоторый момент температура шарика $t$, а глубина канала $h$. Запишем уравнение теплового баланса:
$C(t_{1} - t) = \lambda m = \lambda \rho Sh$,
где $m$ - масса растопленного льда. Отсюда находим начальную температуру шарика:
$t_{1} = t_{0} + - \frac{SH \rho \lambda}{C} = 100^{ \circ} C$.
Мощность теплопередачи пропорциональна разности температур между шариком и льдом. С другой стороны, скорость опускания сосульки тоже связана с мощностью отводимого от шарика тепла:
$\lambda \rho Sv = \alpha (t - t_{0})$,
где $\alpha$ - постоянный размерный коэффициент. Из уравнения теплового баланса выразим температуру $t$ и подставим ее в последнее выражение:
$\lambda \rho Sv = \alpha \left ( t_{1} - \frac{ \lambda \rho Sh}{C} - t_{0} \right )$, откуда $v = \alpha \left ( \frac{t_{1} - t_{0} }{ \lambda \rho S } + \frac{h}{C} \right )$.
Получается, что скорость сосульки линейно зависит от расстояния, на которое она опустилась (рис.). Тогда в начале эксперимента скорость сосульки была
$v_{0} = 3v_{2} = 0,3 мм/с$.
