Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13884
2020-04-03 
Экспериментатор Глюк бросает шарик от пинг-понга массой $m$ с балкона 17-го этажа вертикально вверх со скоростью $v_{0}$. При полете на шарик действует сила сопротивления, прямо пропорциональная скорости. Перед падением на землю шарик двигался с постоянной скоростью $v_{2}$. Найдите скорость шарика $v_{max}$, при которой его кинетическая энергия меняется быстрее всего в процессе движения.
Решение:
Скорость изменения кинетической энергии тела - это мощность приложенных к нему сил. На шарик действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Суммарная мощность сил равна
$N = mgv - \alpha v^{2}$
где $v$ - проекция скорости шарика на ось, направленную вертикально вниз. При падении шарик будет ускоряться, пока сила сопротивления не уравновесит силу тяжести. Зная скорость установившегося движения $v_{2}$, найдем коэффициент $\alpha$, записав для шарика второй закон Ньютона в проекции на выбранную ось:
$0 = mg - \alpha v_{2}$, откуда $\alpha = \frac{mg}{v_{2} }$.
В процессе движения скорость $v$ меняется от $- v_{0}$ до $v_{2}$. Выражение для мощности можно привести к виду
$N = \frac{(mg)^{2}}{4 \alpha} - \alpha \left ( v - \frac{mg}{2 \alpha} \right )^{2}$.
График зависимости мощности от скорости (рис.) - это парабола с вершиной в точке $v_{1} = \frac{mg}{2 \alpha}$. Как видно из графика, максимальная (по модулю) скорость изменения кинетической энергии достигается либо при $v = v_{1}$, либо при $v = - v_{0}$. Соответственно
$N_{1} = \frac{(mg)^{2} }{4 \alpha }$,
$N_{2} = \frac{(mg)^{2} }{4 \alpha } - \alpha \left (v_{0} + \frac{mg}{2 \alpha } \right )^{2}$.
Сравнив $N_{1}$ и $N_{2}$, найдем, что при $v_{0} < v_{к} = \frac{ ( \sqrt{2} - 1 )mg}{2 \alpha}$ $N_{1} > N_{2}$ и, следовательно, $v_{max} = v_{1}$; при $v_{0} > v_{к}$ $N_{2} > N_{1}$ и $v_{max} = v_{0}$; при $v_{0} = v_{к}$ верны оба ответа.
Экспериментатор Глюк бросает шарик от пинг-понга массой $m$ с балкона 17-го этажа вертикально вверх со скоростью $v_{0}$. При полете на шарик действует сила сопротивления, прямо пропорциональная скорости. Перед падением на землю шарик двигался с постоянной скоростью $v_{2}$. Найдите скорость шарика $v_{max}$, при которой его кинетическая энергия меняется быстрее всего в процессе движения.
Решение:
Скорость изменения кинетической энергии тела - это мощность приложенных к нему сил. На шарик действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Суммарная мощность сил равна
$N = mgv - \alpha v^{2}$
где $v$ - проекция скорости шарика на ось, направленную вертикально вниз. При падении шарик будет ускоряться, пока сила сопротивления не уравновесит силу тяжести. Зная скорость установившегося движения $v_{2}$, найдем коэффициент $\alpha$, записав для шарика второй закон Ньютона в проекции на выбранную ось:
$0 = mg - \alpha v_{2}$, откуда $\alpha = \frac{mg}{v_{2} }$.
В процессе движения скорость $v$ меняется от $- v_{0}$ до $v_{2}$. Выражение для мощности можно привести к виду
$N = \frac{(mg)^{2}}{4 \alpha} - \alpha \left ( v - \frac{mg}{2 \alpha} \right )^{2}$.
График зависимости мощности от скорости (рис.) - это парабола с вершиной в точке $v_{1} = \frac{mg}{2 \alpha}$. Как видно из графика, максимальная (по модулю) скорость изменения кинетической энергии достигается либо при $v = v_{1}$, либо при $v = - v_{0}$. Соответственно
$N_{1} = \frac{(mg)^{2} }{4 \alpha }$,
$N_{2} = \frac{(mg)^{2} }{4 \alpha } - \alpha \left (v_{0} + \frac{mg}{2 \alpha } \right )^{2}$.
Сравнив $N_{1}$ и $N_{2}$, найдем, что при $v_{0} < v_{к} = \frac{ ( \sqrt{2} - 1 )mg}{2 \alpha}$ $N_{1} > N_{2}$ и, следовательно, $v_{max} = v_{1}$; при $v_{0} > v_{к}$ $N_{2} > N_{1}$ и $v_{max} = v_{0}$; при $v_{0} = v_{к}$ верны оба ответа.
