Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13874
2020-04-03 
Идеальный источник ЭДС $\mathcal{E}$, ключ K, идеальная катушка индуктивностью $L$ и две пары конденсаторов емкостями $C$ и $2C$ соединены по схеме, изображенной на рисунке. До замыкания ключа все конденсаторы были разряжены и ток в цепи отсутствовал. Найдите максимальную силу тока $I_{0}$ через катушку после замыкания ключа и минимальное время $\tau$, через которое эта сила тока будет достигнута.
Решение:
Сразу после замыкания ключа происходит практически мгновенная зарядка конденсаторов, так как по условию все элементы цепи идеальные, т.е. можно пренебречь их активными сопротивлениями. А вот ток в катушке в этот момент все еще отсутствует, так как индуктивность препятствует резким изменениям силы тока. Поэтому мысленно заменим катушку разрывом цепи и рассчитаем общую емкость $C_{1}$, энергию $W_{1}$ и заряд $q_{1}$ системы конденсаторов:
$C_{1} = 2 \frac{C \cdot 2C}{C + 2C} = \frac{4}{3}C, W_{1} = \frac{C_{1} \mathcal{E}^{2} }{2}, q_{1} = C_{1} \mathcal{E} = \frac{4}{3} C \mathcal{E}$.
В искомый момент, когда сила тока через катушку максимальна, напряжение на ней равно нулю, так как оно пропорционально скорости изменения силы тока. Поэтому теперь мысленно заменим катушку проводом и рассчитаем общую емкость $C_{2}$, энергию $W_{2}$ и заряд $q_{2}$ системы конденсаторов:
$C_{2} = \frac{C + 2C}{2} = \frac{3}{2}C, W_{2} = \frac{C_{2} \mathcal{E}^{2} }{2} = \frac{3}{4} C \mathcal{E}^{2}, q_{2} = C_{2} \mathcal{E} = \frac{3}{2} C \mathcal{E}$.
Запишем закон сохранения энергии с учетом работы источника $A = \mathcal{E} (q_{2} - q_{1})$ с момента завершения зарядки конденсаторов до достижения максимальной силы тока через катушку:
$W_{1} + A = W_{2} + \frac{LI_{0}^{2} }{2}$, откуда находим $I_{0} = \mathcal{E} \sqrt{ \frac{C}{6L} }$.
В силу симметрии схемы конденсаторы одинаковой емкости имеют одинаковые заряды в каждый момент времени. Пусть $Q_{1}$ и $Q_{2}$ - заряды правых обкладок конденсаторов емкостями $C$ и $2C$ соответственно, $I$ - сила тока через катушку (ток направлен снизу вверх) в некоторый момент времени. Тогда правила Кирхгофа принимают вид
$\mathcal{E} = \frac{Q_{1} }{C} + \frac{Q_{2} }{2C}, \mathcal{E} = \frac{Q_{1} }{C} + LI^{ \prime} + \frac{Q_{1} }{C}, Q_{1}^{ \prime} - Q_{2}^{ \prime} = I$,
откуда после исключения $I$ и $Q_{2}$ получаем уравнение $Q_{1}^{ \prime \prime} + \frac{2Q_{1}}{3LC} = \frac{ \mathcal{E}}{3L}$, описывающее гармонические колебания с периодом $T = \pi \sqrt{6LC}$. В начальный момент времени ток через катушку отсутствовал, поэтому сила тока будет максимальна через четверть периода:
$\tau = \frac{T}{4} = \frac{ \pi }{4} \sqrt{6LC}$.
Идеальный источник ЭДС $\mathcal{E}$, ключ K, идеальная катушка индуктивностью $L$ и две пары конденсаторов емкостями $C$ и $2C$ соединены по схеме, изображенной на рисунке. До замыкания ключа все конденсаторы были разряжены и ток в цепи отсутствовал. Найдите максимальную силу тока $I_{0}$ через катушку после замыкания ключа и минимальное время $\tau$, через которое эта сила тока будет достигнута.
Решение:
Сразу после замыкания ключа происходит практически мгновенная зарядка конденсаторов, так как по условию все элементы цепи идеальные, т.е. можно пренебречь их активными сопротивлениями. А вот ток в катушке в этот момент все еще отсутствует, так как индуктивность препятствует резким изменениям силы тока. Поэтому мысленно заменим катушку разрывом цепи и рассчитаем общую емкость $C_{1}$, энергию $W_{1}$ и заряд $q_{1}$ системы конденсаторов:
$C_{1} = 2 \frac{C \cdot 2C}{C + 2C} = \frac{4}{3}C, W_{1} = \frac{C_{1} \mathcal{E}^{2} }{2}, q_{1} = C_{1} \mathcal{E} = \frac{4}{3} C \mathcal{E}$.
В искомый момент, когда сила тока через катушку максимальна, напряжение на ней равно нулю, так как оно пропорционально скорости изменения силы тока. Поэтому теперь мысленно заменим катушку проводом и рассчитаем общую емкость $C_{2}$, энергию $W_{2}$ и заряд $q_{2}$ системы конденсаторов:
$C_{2} = \frac{C + 2C}{2} = \frac{3}{2}C, W_{2} = \frac{C_{2} \mathcal{E}^{2} }{2} = \frac{3}{4} C \mathcal{E}^{2}, q_{2} = C_{2} \mathcal{E} = \frac{3}{2} C \mathcal{E}$.
Запишем закон сохранения энергии с учетом работы источника $A = \mathcal{E} (q_{2} - q_{1})$ с момента завершения зарядки конденсаторов до достижения максимальной силы тока через катушку:
$W_{1} + A = W_{2} + \frac{LI_{0}^{2} }{2}$, откуда находим $I_{0} = \mathcal{E} \sqrt{ \frac{C}{6L} }$.
В силу симметрии схемы конденсаторы одинаковой емкости имеют одинаковые заряды в каждый момент времени. Пусть $Q_{1}$ и $Q_{2}$ - заряды правых обкладок конденсаторов емкостями $C$ и $2C$ соответственно, $I$ - сила тока через катушку (ток направлен снизу вверх) в некоторый момент времени. Тогда правила Кирхгофа принимают вид
$\mathcal{E} = \frac{Q_{1} }{C} + \frac{Q_{2} }{2C}, \mathcal{E} = \frac{Q_{1} }{C} + LI^{ \prime} + \frac{Q_{1} }{C}, Q_{1}^{ \prime} - Q_{2}^{ \prime} = I$,
откуда после исключения $I$ и $Q_{2}$ получаем уравнение $Q_{1}^{ \prime \prime} + \frac{2Q_{1}}{3LC} = \frac{ \mathcal{E}}{3L}$, описывающее гармонические колебания с периодом $T = \pi \sqrt{6LC}$. В начальный момент времени ток через катушку отсутствовал, поэтому сила тока будет максимальна через четверть периода:
$\tau = \frac{T}{4} = \frac{ \pi }{4} \sqrt{6LC}$.
