Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13873
2020-04-03 
Горизонтальный цилиндрический сосуд объемом $V_{0} = 1 л$ разделен на две части гладким подвижным поршнем со встроенной в него линзой, главная оптическая ось которой совпадает с осью симметрии сосуда (рис.). В центре левого основания внутри сосуда закреплена лампа накаливания, а правое основание используется в качестве экрана при наблюдении изображения лампы в линзе. В левой части сосуда находится одноатомный идеальный газ, а в правой - в $k = 3$ раза большее количество двухатомного идеального газа. В начальный момент времени газы имели давление $p_{0} = 1 атм$ и одинаковую температуру. Теплоемкости и теплопроводности поршня, левого основания и боковой поверхности сосуда пренебрежимо малы, а правое основание имеет большую теплопроводность и поддерживается при постоянной начальной температуре. После подачи на лампу напряжения $U = 4 B$ через нее пошел ток $I = 0,32 A$, а на экране появилось четкое изображение нити накала лампы, которое постепенно теряло четкость и превращалось в светлое пятно. Через какое время $t$ после включения лампы изображение ее нити накала снова станет четким? КПД лампы накаливания (как осветительного прибора) можно считать пренебрежимо малым.
Решение:
Оптическая часть. Пусть $F$ - фокусное расстояние линзы, $x$ - расстояние от лампы до линзы, $l$ - расстояние от лампы до экрана. Тогда формула тонкой линзы имеет вид
$\frac{1}{x} + \frac{1}{l - x} = \frac{1}{F}$, или $x^{2} - lx + Fl = 0$.
Поскольку есть два положения линзы, при которых наблюдается четкое изображение нити накала, то это квадратное относительно $x$ уравнение имеет положительный дискриминант и соответствующие этим положениям корни $x_{1}$ и $x_{2}$ . Согласно теореме Виета, справедливо равенство $x_{1} + x_{2} = l$, которое означает, что изображение нити накала снова станет четким, когда расстояние от лампы до линзы будет равно начальному расстоянию от линзы до экрана.
Термодинамическая часть. Пусть $V_{1}$ и $V_{2}$ - начальные объемы левой и правой частей сосуда соответственно. Тогда, согласно полученному выше результату, в искомый момент времени объемы этих частей поменяются между собой, т.е. будут объемы $V_{2}$ и $V_{1}$ соответственно. Пусть $\nu_{1}$ и $\nu_{2}$ - количества одноатомного и двухатомного газов соответственно, $\nu_{0} = \nu_{1} + \nu_{2}$ - общее количество газов. Из условий равенства давлений и температур в начальном состоянии с помощью уравнений Менделеева-Клапейрона запишем
$\frac{V_{1}}{V_{0} } = \frac{ \nu_{1} }{ \nu_{0} }, \frac{V_{2}}{V_{0} } = \frac{ \nu_{2} }{ \nu_{0} }, \frac{V_{2}}{V_{1} } = \frac{ \nu_{2} }{ \nu_{1} } = k$.
Из последнего равенства и условия постоянства температуры в правой части сосуда находим давление в сосуде:
$p = p_{0} \frac{ \nu_{2} }{ \nu_{1} }$.
Количество теплоты $Q$, которое нужно подвести к газу в левой части сосуда, чтобы он расширился от объема $V_{1}$ до объема $V_{2}$, найдем из первого начала термодинамики:
$Q = \Delta U + A = \frac{3}{2} ( pV_{2} - p_{0}V_{1}) + p_{0}V_{2} ln \left ( \frac{V_{2} }{V_{1} } \right )$,
где $\Delta U$ - изменение внутренней энергии одноатомного газа, $A$ - работа газа в левой части сосуда, равная работе внешних сил по изотермическому сжатию газа в правой части сосуда. После упрощения получаем
$Q = p_{0}V_{0} \left ( \frac{3}{2} (k - 1) + \frac{k \ln k}{k + 1} \right )$.
Электрическая часть. Используя формулу $P = UI$ для мощности лампы, находим искомое время передачи количества теплоты $Q$ газу в левой части сосуда:
$t = \frac{Q}{P} = \frac{p_{0}V_{0} }{UI} \left ( \frac{3}{2} (k - 1) + \frac{klnk}{k + 1} \right ) \approx 299 с = 5 мин$.
Горизонтальный цилиндрический сосуд объемом $V_{0} = 1 л$ разделен на две части гладким подвижным поршнем со встроенной в него линзой, главная оптическая ось которой совпадает с осью симметрии сосуда (рис.). В центре левого основания внутри сосуда закреплена лампа накаливания, а правое основание используется в качестве экрана при наблюдении изображения лампы в линзе. В левой части сосуда находится одноатомный идеальный газ, а в правой - в $k = 3$ раза большее количество двухатомного идеального газа. В начальный момент времени газы имели давление $p_{0} = 1 атм$ и одинаковую температуру. Теплоемкости и теплопроводности поршня, левого основания и боковой поверхности сосуда пренебрежимо малы, а правое основание имеет большую теплопроводность и поддерживается при постоянной начальной температуре. После подачи на лампу напряжения $U = 4 B$ через нее пошел ток $I = 0,32 A$, а на экране появилось четкое изображение нити накала лампы, которое постепенно теряло четкость и превращалось в светлое пятно. Через какое время $t$ после включения лампы изображение ее нити накала снова станет четким? КПД лампы накаливания (как осветительного прибора) можно считать пренебрежимо малым.
Решение:
Оптическая часть. Пусть $F$ - фокусное расстояние линзы, $x$ - расстояние от лампы до линзы, $l$ - расстояние от лампы до экрана. Тогда формула тонкой линзы имеет вид
$\frac{1}{x} + \frac{1}{l - x} = \frac{1}{F}$, или $x^{2} - lx + Fl = 0$.
Поскольку есть два положения линзы, при которых наблюдается четкое изображение нити накала, то это квадратное относительно $x$ уравнение имеет положительный дискриминант и соответствующие этим положениям корни $x_{1}$ и $x_{2}$ . Согласно теореме Виета, справедливо равенство $x_{1} + x_{2} = l$, которое означает, что изображение нити накала снова станет четким, когда расстояние от лампы до линзы будет равно начальному расстоянию от линзы до экрана.
Термодинамическая часть. Пусть $V_{1}$ и $V_{2}$ - начальные объемы левой и правой частей сосуда соответственно. Тогда, согласно полученному выше результату, в искомый момент времени объемы этих частей поменяются между собой, т.е. будут объемы $V_{2}$ и $V_{1}$ соответственно. Пусть $\nu_{1}$ и $\nu_{2}$ - количества одноатомного и двухатомного газов соответственно, $\nu_{0} = \nu_{1} + \nu_{2}$ - общее количество газов. Из условий равенства давлений и температур в начальном состоянии с помощью уравнений Менделеева-Клапейрона запишем
$\frac{V_{1}}{V_{0} } = \frac{ \nu_{1} }{ \nu_{0} }, \frac{V_{2}}{V_{0} } = \frac{ \nu_{2} }{ \nu_{0} }, \frac{V_{2}}{V_{1} } = \frac{ \nu_{2} }{ \nu_{1} } = k$.
Из последнего равенства и условия постоянства температуры в правой части сосуда находим давление в сосуде:
$p = p_{0} \frac{ \nu_{2} }{ \nu_{1} }$.
Количество теплоты $Q$, которое нужно подвести к газу в левой части сосуда, чтобы он расширился от объема $V_{1}$ до объема $V_{2}$, найдем из первого начала термодинамики:
$Q = \Delta U + A = \frac{3}{2} ( pV_{2} - p_{0}V_{1}) + p_{0}V_{2} ln \left ( \frac{V_{2} }{V_{1} } \right )$,
где $\Delta U$ - изменение внутренней энергии одноатомного газа, $A$ - работа газа в левой части сосуда, равная работе внешних сил по изотермическому сжатию газа в правой части сосуда. После упрощения получаем
$Q = p_{0}V_{0} \left ( \frac{3}{2} (k - 1) + \frac{k \ln k}{k + 1} \right )$.
Электрическая часть. Используя формулу $P = UI$ для мощности лампы, находим искомое время передачи количества теплоты $Q$ газу в левой части сосуда:
$t = \frac{Q}{P} = \frac{p_{0}V_{0} }{UI} \left ( \frac{3}{2} (k - 1) + \frac{klnk}{k + 1} \right ) \approx 299 с = 5 мин$.
