Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13871
2020-04-03 
По гладкой внутренней поверхности закрепленной сферы радиусом $R$ движется маленькая шайба. В начальный момент времени шайба находится в горизонтальной плоскости, содержащей центр сферы, и имеет горизонтальную скорость $\omega R$. Найдите максимальное смещение $L$ шайбы по вертикали и минимальное время $\tau$, через которое произойдет это смещение, при условии, что $\omega^{2}R \gg g$, где $g$ - ускорение свободного падения. Чему равен модуль s вектора перемещения шайбы к моменту времени $\tau$?
Решение:
Предположим, что смещение z шайбы вниз вдоль вертикальной оси $z$, проходящей через центр O сферы (рис.), мало по сравнению с $R$ в любой момент времени, а потом проверим это предположение. При указанном предположении отличием радиуса $r$ окружности, являющейся сечением сферы горизонтальной плоскостью, проходящей через шайбу в некоторый момент времени, от радиуса сферы $R$ можно пренебречь, так как это отличие пропорционально второму порядку малой величины $z/R$. Из условия $r \approx R$ и закона сохранения момента импульса шайбы в проекции на ось $z$ следует постоянство угловой скорости вращения шайбы вокруг оси $z$.
Пусть $m$ - масса шайбы, тогда нормальная реакция опоры $N$, действующая на шайбу под малым углом $\alpha$ к горизонту, создает центростремительное ускорение и вычисляется по формуле $N = m \omega^{2} R$, а вертикальная составляющая этой силы имеет вид
$N_{z} = -N \sin \alpha = - N \frac{z}{R} = - m \omega^{2} z$.
Поскольку сила $N_{z}$ пропорциональна смещению $z$ шайбы, а сила тяжести постоянна, то шайба будет совершать в проекции на ось $z$ гармонические колебания с циклической частотой $\Omega = \omega$. Координату $z_{0}$ положения равновесия найдем из условия равенства нулю вертикальной составляющей результирующей силы:
$mg - m \omega^{2} z_{0} = 0$, откуда $z_{0} = \frac{g}{ \omega^{2} }$.
Заметим, что из условия $\omega^{2}R \gg g$ следует сравнение $z_{0} \ll R$, т.е. сделанные приближения корректны.
Шайба начинает движение из крайнего верхнего положения в полусфере, поэтому ее амплитуда колебаний $A = z_{0}$, искомое смещение $L$ - это размах колебаний:
$L = 2A = \frac{2g}{ \omega^{2} }$,
а искомое время $\tau$ равно половине периода колебаний:
$\tau = \frac{ \pi}{ \omega}$.
В силу равенства $\Omega = \omega$ в момент времени $\tau$ шайба будет находиться примерно в противоположной точке сферы относительно начального положения, откуда следует
$s = 2R$.
Предлагаем читателям самостоятельно подумать, случайно ли равенство $\Omega = \omega$ и возможно ли прийти к нему только путем качественных рассуждений.
По гладкой внутренней поверхности закрепленной сферы радиусом $R$ движется маленькая шайба. В начальный момент времени шайба находится в горизонтальной плоскости, содержащей центр сферы, и имеет горизонтальную скорость $\omega R$. Найдите максимальное смещение $L$ шайбы по вертикали и минимальное время $\tau$, через которое произойдет это смещение, при условии, что $\omega^{2}R \gg g$, где $g$ - ускорение свободного падения. Чему равен модуль s вектора перемещения шайбы к моменту времени $\tau$?
Решение:
Предположим, что смещение z шайбы вниз вдоль вертикальной оси $z$, проходящей через центр O сферы (рис.), мало по сравнению с $R$ в любой момент времени, а потом проверим это предположение. При указанном предположении отличием радиуса $r$ окружности, являющейся сечением сферы горизонтальной плоскостью, проходящей через шайбу в некоторый момент времени, от радиуса сферы $R$ можно пренебречь, так как это отличие пропорционально второму порядку малой величины $z/R$. Из условия $r \approx R$ и закона сохранения момента импульса шайбы в проекции на ось $z$ следует постоянство угловой скорости вращения шайбы вокруг оси $z$.
Пусть $m$ - масса шайбы, тогда нормальная реакция опоры $N$, действующая на шайбу под малым углом $\alpha$ к горизонту, создает центростремительное ускорение и вычисляется по формуле $N = m \omega^{2} R$, а вертикальная составляющая этой силы имеет вид
$N_{z} = -N \sin \alpha = - N \frac{z}{R} = - m \omega^{2} z$.
Поскольку сила $N_{z}$ пропорциональна смещению $z$ шайбы, а сила тяжести постоянна, то шайба будет совершать в проекции на ось $z$ гармонические колебания с циклической частотой $\Omega = \omega$. Координату $z_{0}$ положения равновесия найдем из условия равенства нулю вертикальной составляющей результирующей силы:
$mg - m \omega^{2} z_{0} = 0$, откуда $z_{0} = \frac{g}{ \omega^{2} }$.
Заметим, что из условия $\omega^{2}R \gg g$ следует сравнение $z_{0} \ll R$, т.е. сделанные приближения корректны.
Шайба начинает движение из крайнего верхнего положения в полусфере, поэтому ее амплитуда колебаний $A = z_{0}$, искомое смещение $L$ - это размах колебаний:
$L = 2A = \frac{2g}{ \omega^{2} }$,
а искомое время $\tau$ равно половине периода колебаний:
$\tau = \frac{ \pi}{ \omega}$.
В силу равенства $\Omega = \omega$ в момент времени $\tau$ шайба будет находиться примерно в противоположной точке сферы относительно начального положения, откуда следует
$s = 2R$.
Предлагаем читателям самостоятельно подумать, случайно ли равенство $\Omega = \omega$ и возможно ли прийти к нему только путем качественных рассуждений.
