Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13870
2020-04-03 
В вершинах прямоугольника ABCD, стороны AB и CD которого вертикальны, закреплены четыре маленьких невесомых блока (рис.). Через них перекинуты две гладкие невесомые нерастяжимые нити, одна из которых связывает грузы массами $m_{1}$ и $m_{2}$, а другая - массами $m_{3}$ и $m_{4}$. Обе нити продеты сквозь одно отверстие в маленькой невесомой бусинке K. Изначально нити натянуты, бусинка и грузы неподвижны, а выходящие из бусинки участки нитей образуют с горизонтом углы $\alpha, \beta, \gamma$ и $\phi$. Найдите проекции ускорения $a_{x}$ и $a_{y}$ бусинки в момент одновременного отпускания бусинки и грузов, если оси $x$ и $y$ сонаправлены с векторами BC и BA соответственно. Рассмотрите два случая: $\alpha = \beta$ и $\alpha \neq \beta$. В ответе можно оставить все четыре угла, но отдельно выразите угол $\phi$ через остальные углы. Ускорение свободного падения $g$ известно.
Решение:
Поскольку бусинка невесома, а ее ускорение не может быть бесконечным, то согласно второму закону Ньютона результирующая сила $F$, действующая на бусинку, всегда равна нулю, однако это равенство реализуется по-разному в случаях $\alpha = \beta$ и $\alpha \neq \beta$.
Случай $\alpha = \beta$. Равенство $\alpha = \beta$ означает, что в треугольнике ABK (см. рис.) биссектриса угла K является высотой, а значит, и медианой, поэтому точка K равноудалена от прямых AD и BC, откуда следует равенство $\phi = \gamma$. В силу симметрии нитей относительно прямой, проходящей через бусинку параллельно оси $x$, справедливо утверждение $a_{y} = 0$. Осталось найти $a_{x}$.
Из условия $F = 0$ в проекции на ось $x$ получаем связь между силами натяжения $T_{1}$ и $T_{2}$ левой и правой нитей соответственно:
$T_{1} \cos \alpha = T_{2} \cos \phi$.
Второй закон Ньютона в проекции на ось $y$ для каждого груза имеет такой вид:
$m_{1}a_{1y} = T_{1} - m_{1}g, m_{2}a_{2y} = T_{1} - m_{2}g$,
$m_{3}a_{3y} = T_{2} - m_{3}g, m_{4}a_{4y} = T_{2} - m_{4}g$.
Уравнения кинематической связи для каждой нити можно получить, приравняв изменения длин участков нитей внутри прямоугольника ABCD, выраженные двумя способами - через ускорения грузов и через ускорение бусинки:
$a_{1y} + a_{2y} = 2a_{x} \cos \alpha, a_{3y} + a_{4y} = -2a_{x} \cos \phi$.
Объединение всех уравнений приводит к искомому ускорению:
$a_{x} = g \frac{k \cos \phi - \cos \alpha}{k \cos^{2} \phi + \cos^{2} \alpha }$, где $k = \frac{(m_{1} + m_{2} )m_{3}m_{4} }{(m_{3} + m_{4} )m_{1}m_{2} }$
Случай $\alpha \neq \beta$. Из геометрических соображений получаем
$tg \phi = \frac{tg \alpha tg \gamma}{tg \beta}$.
Силы, действующие на бусинку со стороны левой и правой нитей, могут быть направлены только вдоль биссектрис угла K в треугольниках ABK и CDK соответственно, а эти биссектрисы теперь не лежат на одной прямой. Поэтому если предположить, что хотя бы одна из сил натяжения $T_{1}$ или $T_{2}$ не равна нулю, то не будет выполняться равенство $F = 0$. Следовательно, в данном случае нити не натянуты, а все грузы свободно падают с ускорением $g$. Уравнения кинематической связи получим аналогично первому случаю, приравняв выраженные двумя способами изменения длин участков нитей внутри прямоугольника ABCD, однако теперь будем проецировать на направления участков нитей обе составляющие ускорения бусинки:
$-2g = a_{x} ( + \cos \alpha + \cos \beta ) + a_{y} ( - \sin \alpha + \sin \beta )$,
$-2g = a_{x} ( - \cos \phi - \cos \gamma ) + a_{y} ( - \sin \phi + \sin \gamma )$.
Отсюда находим искомые проекции ускорения:
$a_{x} = 2g \frac{ \sin \alpha - \sin \beta + \sin \gamma - \sin \phi}{ \sin ( \alpha + \phi ) - \sin ( \beta + \gamma ) + \sin ( \alpha - \gamma ) - \sin ( \beta - \phi) }$,
$a_{y} = 2g \frac{ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma + \cos \phi}{ \sin ( \alpha + \phi ) - \sin ( \beta + \gamma ) + \sin ( \alpha - \gamma ) - \sin ( \beta - \phi) }$,
При приближении начального положения бусинки к прямой, равноудаленной от прямых AD и BC, величина $|a_{y} |$ неограниченно возрастает, поэтому пренебрегать массой бусинки в этих условиях уже нельзя.
В вершинах прямоугольника ABCD, стороны AB и CD которого вертикальны, закреплены четыре маленьких невесомых блока (рис.). Через них перекинуты две гладкие невесомые нерастяжимые нити, одна из которых связывает грузы массами $m_{1}$ и $m_{2}$, а другая - массами $m_{3}$ и $m_{4}$. Обе нити продеты сквозь одно отверстие в маленькой невесомой бусинке K. Изначально нити натянуты, бусинка и грузы неподвижны, а выходящие из бусинки участки нитей образуют с горизонтом углы $\alpha, \beta, \gamma$ и $\phi$. Найдите проекции ускорения $a_{x}$ и $a_{y}$ бусинки в момент одновременного отпускания бусинки и грузов, если оси $x$ и $y$ сонаправлены с векторами BC и BA соответственно. Рассмотрите два случая: $\alpha = \beta$ и $\alpha \neq \beta$. В ответе можно оставить все четыре угла, но отдельно выразите угол $\phi$ через остальные углы. Ускорение свободного падения $g$ известно.
Решение:
Поскольку бусинка невесома, а ее ускорение не может быть бесконечным, то согласно второму закону Ньютона результирующая сила $F$, действующая на бусинку, всегда равна нулю, однако это равенство реализуется по-разному в случаях $\alpha = \beta$ и $\alpha \neq \beta$.
Случай $\alpha = \beta$. Равенство $\alpha = \beta$ означает, что в треугольнике ABK (см. рис.) биссектриса угла K является высотой, а значит, и медианой, поэтому точка K равноудалена от прямых AD и BC, откуда следует равенство $\phi = \gamma$. В силу симметрии нитей относительно прямой, проходящей через бусинку параллельно оси $x$, справедливо утверждение $a_{y} = 0$. Осталось найти $a_{x}$.
Из условия $F = 0$ в проекции на ось $x$ получаем связь между силами натяжения $T_{1}$ и $T_{2}$ левой и правой нитей соответственно:
$T_{1} \cos \alpha = T_{2} \cos \phi$.
Второй закон Ньютона в проекции на ось $y$ для каждого груза имеет такой вид:
$m_{1}a_{1y} = T_{1} - m_{1}g, m_{2}a_{2y} = T_{1} - m_{2}g$,
$m_{3}a_{3y} = T_{2} - m_{3}g, m_{4}a_{4y} = T_{2} - m_{4}g$.
Уравнения кинематической связи для каждой нити можно получить, приравняв изменения длин участков нитей внутри прямоугольника ABCD, выраженные двумя способами - через ускорения грузов и через ускорение бусинки:
$a_{1y} + a_{2y} = 2a_{x} \cos \alpha, a_{3y} + a_{4y} = -2a_{x} \cos \phi$.
Объединение всех уравнений приводит к искомому ускорению:
$a_{x} = g \frac{k \cos \phi - \cos \alpha}{k \cos^{2} \phi + \cos^{2} \alpha }$, где $k = \frac{(m_{1} + m_{2} )m_{3}m_{4} }{(m_{3} + m_{4} )m_{1}m_{2} }$
Случай $\alpha \neq \beta$. Из геометрических соображений получаем
$tg \phi = \frac{tg \alpha tg \gamma}{tg \beta}$.
Силы, действующие на бусинку со стороны левой и правой нитей, могут быть направлены только вдоль биссектрис угла K в треугольниках ABK и CDK соответственно, а эти биссектрисы теперь не лежат на одной прямой. Поэтому если предположить, что хотя бы одна из сил натяжения $T_{1}$ или $T_{2}$ не равна нулю, то не будет выполняться равенство $F = 0$. Следовательно, в данном случае нити не натянуты, а все грузы свободно падают с ускорением $g$. Уравнения кинематической связи получим аналогично первому случаю, приравняв выраженные двумя способами изменения длин участков нитей внутри прямоугольника ABCD, однако теперь будем проецировать на направления участков нитей обе составляющие ускорения бусинки:
$-2g = a_{x} ( + \cos \alpha + \cos \beta ) + a_{y} ( - \sin \alpha + \sin \beta )$,
$-2g = a_{x} ( - \cos \phi - \cos \gamma ) + a_{y} ( - \sin \phi + \sin \gamma )$.
Отсюда находим искомые проекции ускорения:
$a_{x} = 2g \frac{ \sin \alpha - \sin \beta + \sin \gamma - \sin \phi}{ \sin ( \alpha + \phi ) - \sin ( \beta + \gamma ) + \sin ( \alpha - \gamma ) - \sin ( \beta - \phi) }$,
$a_{y} = 2g \frac{ \cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma + \cos \phi}{ \sin ( \alpha + \phi ) - \sin ( \beta + \gamma ) + \sin ( \alpha - \gamma ) - \sin ( \beta - \phi) }$,
При приближении начального положения бусинки к прямой, равноудаленной от прямых AD и BC, величина $|a_{y} |$ неограниченно возрастает, поэтому пренебрегать массой бусинки в этих условиях уже нельзя.
