Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13868
2020-04-03 
Небольшой шарик, заряженный зарядом $q$, покоится на гладком горизонтальном непроводящем столе. К шарику присоединена горизонтальная пружина жесткостью $k$, второй конец которой закреплен. Вдоль оси пружины к шарику с большого расстояния очень медленно приближают такой же, но противоположно заряженный шарик. Найдите деформацию пружины в момент столкновения шариков.
Решение:
Направим ось $x$ вдоль оси пружины от первого шарика, который закреплен на пружине, в сторону второго шарика, который медленно приближается к первому. Начало отсчета примем в точке, где первоначально находился первый шарик при недеформированной пружине. Проекция на ось $x$ суммарной силы, действующей на первый шарик, определяется формулой
$F_{x} = \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} (l - x )^{2} } - kx$,
где $x$ - координата первого шарика, $l$ — координата второго. В положении равновесия $F_{x} = 0$, поэтому
$\frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}k } = x(l - x)^{2} = f(x)$. (*)
Исследуем поведение функции $f(x)$. При $x \geq 0$ она неотрицательна. При $x = 0$ и при $x = l$ эта функция принимает нулевое значение. При возрастании $x$ от нуля $f(x)$ сначала возрастает, а при приближении $x$ к $l$ она, начиная с некоторых значений $x$, убывает. Из этого следует, что при $0 < x < l$ рассматриваемая функция имеет хотя бы один максимум. График функции $f(x)$ имеет вид, показанный на рисунке. Максимальное значение $f_{m}$, которое принимает $f(x)$ в указанном интервале, можно найти, приравняв нулю производную этой функции и решив полученное уравнение, откуда получаем
$x_{m} = \frac{l}{3}$ и $f_{m} = f(x_{m} ) = \left ( \frac{2}{3} \right )^{2} \frac{l^{3} }{3}$.
Второй корень этого уравнения, $x = l$, совпадает с одним из значений $x$, при которых $f(x) = 0$, поэтому при $x = l$ функция $f(x)$ достигает минимума и при этом обращается в ноль. Нас интересует случай, когда $x < l$, поскольку пружина начинает растягиваться из недеформированного состояния. Заметим, что если $\frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} k } > f_{m}$, то уравнение (*) не имеет решения, в противном случае оно имеет два положительных корня $x_{уст}$ и $x_{неуст}$, меньший из которых соответствует устойчивому положению равновесия, а больший - неустойчивому (убедитесь в этом самостоятельно).
Итак, когда второй шарик находится на очень большом расстоянии от первого, величина $l$ велика и $\frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}k } < f_{m}$. При этом первый шарик растягивает пружину на величину $x_{уст}$ и его равновесие устойчивое. По мере приближения второго шарика к первому величины $l$ и $f_{m}$ уменьшаются, $x_{уст}$ растет, пружина растягивается все сильнее. При достижении условия $\frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}k } = f_{m}$ корни уравнения (*) $x_{уст}$ и $x_{неуст}$ совпадают, и поэтому шарик на пружине теряет устойчивость. При этом пружина оказывается растянутой на величину $l/3$. При дальнейшем сколь угодно малом уменьшении $l$ удовлетворение уравнения (*) оказывается невозможным, проекция силы $F_{x}$ становится положительной, и первый шарик устремляется навстречу второму и движется, пока не происходит их столкновения. Таким образом, координата $l$ второго шарика в момент потери системой устойчивости определяется уравнением
$f_{m} = \left ( \frac{2}{3} \right )^{2} \frac{l^{3}}{3} = \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}k }$, откуда $l = \frac{2}{3} \left ( \frac{q^{2} }{2 \pi \epsilon_{0} k } \right )^{1/3}$.
Небольшой шарик, заряженный зарядом $q$, покоится на гладком горизонтальном непроводящем столе. К шарику присоединена горизонтальная пружина жесткостью $k$, второй конец которой закреплен. Вдоль оси пружины к шарику с большого расстояния очень медленно приближают такой же, но противоположно заряженный шарик. Найдите деформацию пружины в момент столкновения шариков.
Решение:
Направим ось $x$ вдоль оси пружины от первого шарика, который закреплен на пружине, в сторону второго шарика, который медленно приближается к первому. Начало отсчета примем в точке, где первоначально находился первый шарик при недеформированной пружине. Проекция на ось $x$ суммарной силы, действующей на первый шарик, определяется формулой
$F_{x} = \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} (l - x )^{2} } - kx$,
где $x$ - координата первого шарика, $l$ — координата второго. В положении равновесия $F_{x} = 0$, поэтому
$\frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}k } = x(l - x)^{2} = f(x)$. (*)
Исследуем поведение функции $f(x)$. При $x \geq 0$ она неотрицательна. При $x = 0$ и при $x = l$ эта функция принимает нулевое значение. При возрастании $x$ от нуля $f(x)$ сначала возрастает, а при приближении $x$ к $l$ она, начиная с некоторых значений $x$, убывает. Из этого следует, что при $0 < x < l$ рассматриваемая функция имеет хотя бы один максимум. График функции $f(x)$ имеет вид, показанный на рисунке. Максимальное значение $f_{m}$, которое принимает $f(x)$ в указанном интервале, можно найти, приравняв нулю производную этой функции и решив полученное уравнение, откуда получаем
$x_{m} = \frac{l}{3}$ и $f_{m} = f(x_{m} ) = \left ( \frac{2}{3} \right )^{2} \frac{l^{3} }{3}$.
Второй корень этого уравнения, $x = l$, совпадает с одним из значений $x$, при которых $f(x) = 0$, поэтому при $x = l$ функция $f(x)$ достигает минимума и при этом обращается в ноль. Нас интересует случай, когда $x < l$, поскольку пружина начинает растягиваться из недеформированного состояния. Заметим, что если $\frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0} k } > f_{m}$, то уравнение (*) не имеет решения, в противном случае оно имеет два положительных корня $x_{уст}$ и $x_{неуст}$, меньший из которых соответствует устойчивому положению равновесия, а больший - неустойчивому (убедитесь в этом самостоятельно).
Итак, когда второй шарик находится на очень большом расстоянии от первого, величина $l$ велика и $\frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}k } < f_{m}$. При этом первый шарик растягивает пружину на величину $x_{уст}$ и его равновесие устойчивое. По мере приближения второго шарика к первому величины $l$ и $f_{m}$ уменьшаются, $x_{уст}$ растет, пружина растягивается все сильнее. При достижении условия $\frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}k } = f_{m}$ корни уравнения (*) $x_{уст}$ и $x_{неуст}$ совпадают, и поэтому шарик на пружине теряет устойчивость. При этом пружина оказывается растянутой на величину $l/3$. При дальнейшем сколь угодно малом уменьшении $l$ удовлетворение уравнения (*) оказывается невозможным, проекция силы $F_{x}$ становится положительной, и первый шарик устремляется навстречу второму и движется, пока не происходит их столкновения. Таким образом, координата $l$ второго шарика в момент потери системой устойчивости определяется уравнением
$f_{m} = \left ( \frac{2}{3} \right )^{2} \frac{l^{3}}{3} = \frac{q^{2} }{4 \pi \epsilon_{0}k }$, откуда $l = \frac{2}{3} \left ( \frac{q^{2} }{2 \pi \epsilon_{0} k } \right )^{1/3}$.
