Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13857
2020-04-03 
Небольшой заряженный шарик покоится на гладком горизонтальном непроводящем столе. К шарику присоединена пружинка жесткостью $k$, второй конец которой закреплен на столе. Вдоль оси пружинки к шарику с большого расстояния очень медленно приближают такой же, но противоположно заряженный шарик. Определите деформацию пружинки в момент столкновения шариков, если величина заряда каждого шарика равна $q$.
Решение:
Направим ось $x$ вдоль оси пружинки от первого шарика (он закреплен на пружине) ко второму, который медленно приближается к первому (рис.). Начало отсчета примем в точке, где первоначально находился первый шарик при недеформированной пружинке. Проекция на ось $x$ силы, действующей на первый шарик, определяется формулой
$F_{x} = \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} (l-x)^{2} } - kx$,
где $x$ - координата первого шарика, $l$ - координата второго, $\epsilon_{0}$ - электрическая постоянная. Графики зависимости $F_{x} (x)$ при $0 < x < l$ для различных значений параметра
$\alpha = \frac{1}{l} \left ( \frac{q^{2} }{2 \pi \epsilon_{0} k } \right )^{1/3}$
приведены на рисунке. Минимальное значение силы достигается при
$x = x_{m} = l(1 - \alpha )$.
Это выражение нетрудно получить стандартным методом, вычисляя производную и решая уравнение $F_{x}^{ \prime} ( x_{m} ) = 0$. Подставляя найденное значение $x_{m}$ в $F_{x} (x_{m} )$, получим минимальное значение функции:
$F_{m} = \left ( \frac{3}{2} \alpha - 1 \right ) kl$.
При $\alpha < 2/3$ значение $F_{m}$ отрицательно и, как видно из рисунка, уравнение $F_{0} = 0$ имеет два корня, один из которых соответствует устойчивому равновесию шарика на пружинке, а второй - неустойчивому. При $\alpha = 2/3$ два корня уравнения $F_{x} = 0$ "сливаются" в один, а при $\alpha > 2/3$ проекция силы $F_{x}$ положительна при любых значениях $x$ в диапазоне $0 < x < l$.
Итак, когда второй шарик находится на большом расстоянии от первого, величина $l$ велика и поэтому $\alpha < 2/3$. При этом первый шарик растягивает пружинку на $x = x_{уст}$ и его равновесие устойчивое. По мере приближения второго шарика к первому величина $l$ уменьшается, а величины $F_{m}, x_{уст}$ и $\alpha$ растут - пружинка растягивается все сильнее. При достижении условия $\alpha = 2/3$ шарик на пружинке теряет устойчивость, проекция силы $F_{x}$ становится положительной и первый шарик устремляется навстречу второму, пока не происходит их столкновение. Поскольку второй шарик по условию задачи приближается очень медленно, то деформация пружины в момент столкновения равна значению $l$, при котором $\alpha = 2/3$:
$l = \frac{3}{2} \left ( \frac{q^{2} }{2 \pi \epsilon_{0} k } \right )^{1/3}$.
Небольшой заряженный шарик покоится на гладком горизонтальном непроводящем столе. К шарику присоединена пружинка жесткостью $k$, второй конец которой закреплен на столе. Вдоль оси пружинки к шарику с большого расстояния очень медленно приближают такой же, но противоположно заряженный шарик. Определите деформацию пружинки в момент столкновения шариков, если величина заряда каждого шарика равна $q$.
Решение:
Направим ось $x$ вдоль оси пружинки от первого шарика (он закреплен на пружине) ко второму, который медленно приближается к первому (рис.). Начало отсчета примем в точке, где первоначально находился первый шарик при недеформированной пружинке. Проекция на ось $x$ силы, действующей на первый шарик, определяется формулой
$F_{x} = \frac{q^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} (l-x)^{2} } - kx$,
где $x$ - координата первого шарика, $l$ - координата второго, $\epsilon_{0}$ - электрическая постоянная. Графики зависимости $F_{x} (x)$ при $0 < x < l$ для различных значений параметра
$\alpha = \frac{1}{l} \left ( \frac{q^{2} }{2 \pi \epsilon_{0} k } \right )^{1/3}$
приведены на рисунке. Минимальное значение силы достигается при
$x = x_{m} = l(1 - \alpha )$.
Это выражение нетрудно получить стандартным методом, вычисляя производную и решая уравнение $F_{x}^{ \prime} ( x_{m} ) = 0$. Подставляя найденное значение $x_{m}$ в $F_{x} (x_{m} )$, получим минимальное значение функции:
$F_{m} = \left ( \frac{3}{2} \alpha - 1 \right ) kl$.
При $\alpha < 2/3$ значение $F_{m}$ отрицательно и, как видно из рисунка, уравнение $F_{0} = 0$ имеет два корня, один из которых соответствует устойчивому равновесию шарика на пружинке, а второй - неустойчивому. При $\alpha = 2/3$ два корня уравнения $F_{x} = 0$ "сливаются" в один, а при $\alpha > 2/3$ проекция силы $F_{x}$ положительна при любых значениях $x$ в диапазоне $0 < x < l$.
Итак, когда второй шарик находится на большом расстоянии от первого, величина $l$ велика и поэтому $\alpha < 2/3$. При этом первый шарик растягивает пружинку на $x = x_{уст}$ и его равновесие устойчивое. По мере приближения второго шарика к первому величина $l$ уменьшается, а величины $F_{m}, x_{уст}$ и $\alpha$ растут - пружинка растягивается все сильнее. При достижении условия $\alpha = 2/3$ шарик на пружинке теряет устойчивость, проекция силы $F_{x}$ становится положительной и первый шарик устремляется навстречу второму, пока не происходит их столкновение. Поскольку второй шарик по условию задачи приближается очень медленно, то деформация пружины в момент столкновения равна значению $l$, при котором $\alpha = 2/3$:
$l = \frac{3}{2} \left ( \frac{q^{2} }{2 \pi \epsilon_{0} k } \right )^{1/3}$.
