Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13855
2020-04-03 
К муфте, которая может скользить по гладкому стержню, прикреплены четыре пружины, как показано на рисунке. Две из них, расположенные вдоль стержня, имеют жесткость в $n = 2$ меньше, чем "поперечные" пружины, перпендикулярные стержню. Первоначально пружины не деформированы, а затем поперечные пружины начинают медленно сжимать. При какой относительной деформации этих пружин равновесное положение муфты потеряет устойчивость?
Решение:
Направим ось $x$ вдоль стержня. Пусть муфта сместилась из положения равновесия на малую величину $x$. Действующие на нее силы изображены на рисунке. Проекция результирующей силы на ось $x$ равна
$F_{x} = 2k \Delta l \sin \alpha - 2 \frac{k}{n}x$,
где $k$ - жесткость, а $\Delta l$ - деформация поперечных пружин. Учитывая, что
$\sin \alpha = \frac{x}{l - \Delta l}$,
получим
$F_{x} = \frac{2kxl }{n(l - \Delta l)} \left ( (n + 1) \frac{ \Delta l}{l} - 1 \right )$.
Из этой формулы следует, что если $(n + 1) \frac{ \Delta l}{l} < 1$, то проекция силы $F_{x}$ отрицательна при $x > 0$ и положительна при $x < 0$, т.е. в этом случае при отклонении системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть систему к равновесию ($x = 0$). Положение равновесия становится неустойчивым при $(n + 1) \frac{ \Delta l}{l} > 1$. Отсюда находим "пороговую" относительную деформацию поперечных пружин:
$\frac{ \Delta l}{l} = \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{3}$.
К муфте, которая может скользить по гладкому стержню, прикреплены четыре пружины, как показано на рисунке. Две из них, расположенные вдоль стержня, имеют жесткость в $n = 2$ меньше, чем "поперечные" пружины, перпендикулярные стержню. Первоначально пружины не деформированы, а затем поперечные пружины начинают медленно сжимать. При какой относительной деформации этих пружин равновесное положение муфты потеряет устойчивость?
Решение:
Направим ось $x$ вдоль стержня. Пусть муфта сместилась из положения равновесия на малую величину $x$. Действующие на нее силы изображены на рисунке. Проекция результирующей силы на ось $x$ равна
$F_{x} = 2k \Delta l \sin \alpha - 2 \frac{k}{n}x$,
где $k$ - жесткость, а $\Delta l$ - деформация поперечных пружин. Учитывая, что
$\sin \alpha = \frac{x}{l - \Delta l}$,
получим
$F_{x} = \frac{2kxl }{n(l - \Delta l)} \left ( (n + 1) \frac{ \Delta l}{l} - 1 \right )$.
Из этой формулы следует, что если $(n + 1) \frac{ \Delta l}{l} < 1$, то проекция силы $F_{x}$ отрицательна при $x > 0$ и положительна при $x < 0$, т.е. в этом случае при отклонении системы от положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть систему к равновесию ($x = 0$). Положение равновесия становится неустойчивым при $(n + 1) \frac{ \Delta l}{l} > 1$. Отсюда находим "пороговую" относительную деформацию поперечных пружин:
$\frac{ \Delta l}{l} = \frac{1}{n + 1} = \frac{1}{3}$.
