2016-11-19
На плоскости, образующей угол $\alpha$ с горизонтом, лежит шайба массы $m$. Какую минимальную силу $F$, направленную горизонтально вдоль плоскости, надо приложить к шайбе, чтобы она сдвинулась? Коэффициент трения между шайбой и плоскостью равен $\mu$.
Решение:
рис.1
рис.2
На рисунке не обозначены силы $\vec{F}_{тр}$ и $\vec{F}$. Запишем закон Ньютона для шайбы:
$\vec{N} + m \vec{g} + \vec{F} + \vec{F}_{тр} = 0$. (1)
По условию задачи (минимальность силы), шайба находится на грани проскальзывания, то есть:
$F_{тр} = \mu N$. (2)
Воспользуемся принципом суперпозиции, представив силу $m \vec{g}$ в виде
$m \vec{g} = \vec{P}_{x} + \vec{P}_{y}$, (3)
где $P_{x} = mg \sin \alpha; P_{y} = mg \cos \alpha$. Перепишем (1) с учетом (3):
$\vec{N} + \vec{P}_{x} + \vec{P}_{y} + \vec{F} + \vec{F}_{тр} = 0$. (4)
Спроецируем (4) на ось у:
$N - mg \cos \alpha = 0$. (5)
Из последнего соотношения видно, что $\vec{N} = - \vec{P}_{y}$, и, следовательно, из (4) получаем
$\vec{P}_{x} + \vec{F} + \vec{F}_{тр} = 0$. (6)
Поскольку силы $\vec{P}_{x}$ и $\vec{F}$ перпендикулярны друг другу, воспользуемся теоремой Пифагора:
$F_{тр}^{2} = P_{x}^{2} + F^{2}$.
С учетом (2) и (5), из последнего соотношения находим:
$F_{min} = mg \sqrt{ \mu^{2} \cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha}$.
Предполагается, разумеется, что $\mu \geq tg \alpha$, так что под знаком радикала неотрицательное выражение (иначе шайба будет соскальзывать и при $F = 0$).