Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13847
2020-04-03 
Вблизи края гладкой горизонтальной полуплоскости лежат два одинаковых груза массой $m$ каждый, соединенные легкой нерастянутой пружиной, длина которой $l_{0}$, а жесткость $k$ (рис.). К грузу, ближайшему к краю плоскости, с помощью нерастяжимой нити, перекинутой через легкий блок, прикреплен еще один такой же груз массой $m$. Его удерживают так, что участок нити, идущий от блока к этому грузу, вертикален. Нижний груз отпускают. Через какое минимальное время $\tau$ удлинение $\Delta l$ пружины станет максимальным? Найдите это удлинение.
Решение:
Пронумеруем грузы слева направо и запишем для каждого второй закон Ньютона:
$ma_{1} = F, ma_{2} = T - F , ma_{3} = mg - T$,
где $F$ - сила натяжения пружины, а $T$ - сила натяжения нити. При этом $a_{2} = a_{3}$, так как нить нерастяжима. Теперь найдем разность ускорений лежачих грузов:
$a_{2} - a_{1} = \frac{g}{2} - \frac{3F}{2m}$, или $x^{ \prime \prime} = \frac{g}{2} - \frac{3k}{2m}x$,
где $x$ - удлинение пружины. Введем обозначения
$\omega^{2} = \frac{3k}{2m}, A_{0} = \frac{mg}{3k}, y = x - A_{0}$
и получим уравнение гармонических колебаний
$y^{ \prime \prime} + \omega^{2}y = 0$,
решение которого имеет вид
$y = A \cos \omega t + B \sin \omega t$, или $x = A \cos \omega t + B \sin \omega t + A_{0}$.
С учетом начальных условий,
$x = A_{0} (1 - \cos \omega t)$.
Максимальное удлинение $\Delta l = 2A_{0} = \frac{2mg}{3k}$ достигается впервые через время
$\tau = \frac{ \pi}{ \omega} = \pi \sqrt{ \frac{2m}{3k} }$.
Вблизи края гладкой горизонтальной полуплоскости лежат два одинаковых груза массой $m$ каждый, соединенные легкой нерастянутой пружиной, длина которой $l_{0}$, а жесткость $k$ (рис.). К грузу, ближайшему к краю плоскости, с помощью нерастяжимой нити, перекинутой через легкий блок, прикреплен еще один такой же груз массой $m$. Его удерживают так, что участок нити, идущий от блока к этому грузу, вертикален. Нижний груз отпускают. Через какое минимальное время $\tau$ удлинение $\Delta l$ пружины станет максимальным? Найдите это удлинение.
Решение:
Пронумеруем грузы слева направо и запишем для каждого второй закон Ньютона:
$ma_{1} = F, ma_{2} = T - F , ma_{3} = mg - T$,
где $F$ - сила натяжения пружины, а $T$ - сила натяжения нити. При этом $a_{2} = a_{3}$, так как нить нерастяжима. Теперь найдем разность ускорений лежачих грузов:
$a_{2} - a_{1} = \frac{g}{2} - \frac{3F}{2m}$, или $x^{ \prime \prime} = \frac{g}{2} - \frac{3k}{2m}x$,
где $x$ - удлинение пружины. Введем обозначения
$\omega^{2} = \frac{3k}{2m}, A_{0} = \frac{mg}{3k}, y = x - A_{0}$
и получим уравнение гармонических колебаний
$y^{ \prime \prime} + \omega^{2}y = 0$,
решение которого имеет вид
$y = A \cos \omega t + B \sin \omega t$, или $x = A \cos \omega t + B \sin \omega t + A_{0}$.
С учетом начальных условий,
$x = A_{0} (1 - \cos \omega t)$.
Максимальное удлинение $\Delta l = 2A_{0} = \frac{2mg}{3k}$ достигается впервые через время
$\tau = \frac{ \pi}{ \omega} = \pi \sqrt{ \frac{2m}{3k} }$.
