Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13846
2020-04-03 
Как-то теоретик Баг, гуляя по берегу моря, увидел, как отдыхающий строит замок из песка (рис.). Он решил узнать, какой максимальной высоты колонну можно построить из влажного песка. В одной из работ Леонарда Эйлера он обнаружил, что максимальная высота цилиндрической колонны, изготовленной из однородного и изотропного материала, может быть рассчитана по формуле $H = 1,25 E^{ \alpha } R^{ \beta} \rho^{ \gamma} g^{ \lambda}$, где $\alpha, \beta, \gamma$ и $\lambda$ - некоторые числовые коэффициенты, $R$ - радиус колонны, $\rho$ - плотность материала, из которого она изготовлена, $g$ - ускорение свободного падения, $E$ - модуль Юнга. Баг рассчитал, что если колонну сделать из влажного песка, то при ее радиусе $R_{1} = 5 см$ высота колонны окажется 1,0 м. Друг Бага, экспериментатор Глюк, решил собрать более "солидную" колонну. Он сделал радиус ее основания $R_{2} = 15 см$. Колонна какой высоты получилась у Глюка? Плотность влажного песка $\rho = 1,5 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$, его модуль Юнга $E = 3,0 \cdot 10^{6} Па$, ускорение свободного падения $g = 9,8 м/с^{2}$.
Примечание. Модуль Юнга - это коэффициент пропорциональности между давлением (или растяжением), действующим на плоскую поверхность исследуемого образца, и его относительным сжатием (удлинением).
Решение:
Поскольку высота имеет размерность длины, то все прочее размерности в выражении для $H$ должны в итоге дать ноль. Отсюда получаем
$\alpha + \gamma = 0, \alpha + \lambda = 0, \lambda - \alpha - 3 \gamma + \beta = 1$,
или
$\alpha = - \gamma = - \lambda$ и $\alpha + \beta = 1$.
Тогда можно записать
$H = 1,25 \left ( \frac{E}{ \rho g} \right )^{ \alpha} R^{1 - \alpha}$, или $H = 1,25r^{ \alpha } R^{1 - \alpha}$, где $r = \frac{E}{ \rho g} \approx 204 м$.
По расчетам Бага,
$1 м = 1,25 \cdot (204 м)^{ \alpha} \cdot ( 0,05 м)^{1 - \alpha} = 1,25 \left ( \frac{204 м}{0,05 м} \right )^{ \alpha } \cdot 0,05 м$.
Это выражение преобразуется к виду
$16 = (4080)^{ \alpha}$, откуда находим $\alpha = \frac{ln 16}{ln 4080} = \frac{1}{3}$.
Запишем теперь выражения для высоты колонны по расчета Бага и Глюка и найдем их отношение:
$\frac{H_{1} }{H_{2} } = \left ( \frac{R_{1} }{R_{2} } \right )^{2/3}$. Отсюда получим $H_{2} = H_{1} \left ( \frac{R_{2} }{R_{1} } \right )^{2/3} \approx 2м$.
Как-то теоретик Баг, гуляя по берегу моря, увидел, как отдыхающий строит замок из песка (рис.). Он решил узнать, какой максимальной высоты колонну можно построить из влажного песка. В одной из работ Леонарда Эйлера он обнаружил, что максимальная высота цилиндрической колонны, изготовленной из однородного и изотропного материала, может быть рассчитана по формуле $H = 1,25 E^{ \alpha } R^{ \beta} \rho^{ \gamma} g^{ \lambda}$, где $\alpha, \beta, \gamma$ и $\lambda$ - некоторые числовые коэффициенты, $R$ - радиус колонны, $\rho$ - плотность материала, из которого она изготовлена, $g$ - ускорение свободного падения, $E$ - модуль Юнга. Баг рассчитал, что если колонну сделать из влажного песка, то при ее радиусе $R_{1} = 5 см$ высота колонны окажется 1,0 м. Друг Бага, экспериментатор Глюк, решил собрать более "солидную" колонну. Он сделал радиус ее основания $R_{2} = 15 см$. Колонна какой высоты получилась у Глюка? Плотность влажного песка $\rho = 1,5 \cdot 10^{3} кг/м^{3}$, его модуль Юнга $E = 3,0 \cdot 10^{6} Па$, ускорение свободного падения $g = 9,8 м/с^{2}$.
Примечание. Модуль Юнга - это коэффициент пропорциональности между давлением (или растяжением), действующим на плоскую поверхность исследуемого образца, и его относительным сжатием (удлинением).
Решение:
Поскольку высота имеет размерность длины, то все прочее размерности в выражении для $H$ должны в итоге дать ноль. Отсюда получаем
$\alpha + \gamma = 0, \alpha + \lambda = 0, \lambda - \alpha - 3 \gamma + \beta = 1$,
или
$\alpha = - \gamma = - \lambda$ и $\alpha + \beta = 1$.
Тогда можно записать
$H = 1,25 \left ( \frac{E}{ \rho g} \right )^{ \alpha} R^{1 - \alpha}$, или $H = 1,25r^{ \alpha } R^{1 - \alpha}$, где $r = \frac{E}{ \rho g} \approx 204 м$.
По расчетам Бага,
$1 м = 1,25 \cdot (204 м)^{ \alpha} \cdot ( 0,05 м)^{1 - \alpha} = 1,25 \left ( \frac{204 м}{0,05 м} \right )^{ \alpha } \cdot 0,05 м$.
Это выражение преобразуется к виду
$16 = (4080)^{ \alpha}$, откуда находим $\alpha = \frac{ln 16}{ln 4080} = \frac{1}{3}$.
Запишем теперь выражения для высоты колонны по расчета Бага и Глюка и найдем их отношение:
$\frac{H_{1} }{H_{2} } = \left ( \frac{R_{1} }{R_{2} } \right )^{2/3}$. Отсюда получим $H_{2} = H_{1} \left ( \frac{R_{2} }{R_{1} } \right )^{2/3} \approx 2м$.
