Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13842
2020-04-03 
В тонкой U-образной трубке постоянного сечения находятся вода и ртуть одинаковых объемов. Длина горизонтальной части трубки $l = 40 см$. Трубку раскрутили вокруг колена с водой, и оказалось, что уровни жидкостей в трубке одинаковы и равны $h = 25 см$ (рис.). Пренебрегая эффектом смачивания, определите период $T$ вращения трубки. Ускорение свободного падения $g = 9,8 м/с^{2}$, плотности воды и ртути $\rho_{в} = 1,0 г/см^{3}$ и $\rho_{р} = 13,5 г/см^{3}$.
Решение:
Запишем уравнение движения малого элемента жидкости длиной $\Delta r$, находящегося в горизонтальной части трубки на расстоянии $r$ от оси вращения:
$\omega^{2} r \rho S \Delta r = S \Delta p$,
где $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ - угловая скорость вращения трубки, $\Delta p$ - перепад давлений. При вычислении разности давлений на концах всего горизонтального участка трубки получим (рис.)
$p_{2} - p_{1} = \omega^{2} \rho \frac{r_{2}^{2} - r_{1}^{2} }{2}$.
В нашем случае, когда половина горизонтальной части трубки заполнена водой, а половина ртутью,
$p_{2} - p_{1} = \omega^{2} \rho_{в} \frac{ \left ( \frac{l}{2} \right )^{2} - 0 }{2} + \omega^{2} \rho_{р} \frac{l^{2} - \left ( \frac{l}{2} \right )^{2} }{2} = (3 \rho_{р} + \rho_{в} ) \frac{ \omega^{2}l^{2} }{8}$.
Этот перепад давлений и поддерживает разность давлений вертикальных столбов воды и ртути:
$( 3 \rho_{р} + \rho_{в} ) \frac{ \omega^{2}l^{2} }{8} = \rho_{р}gh - \rho_{в}gh$,
откуда находим
$T = \frac{2 \pi}{ \omega } = \frac{ \pi l}{ \sqrt{2gh} } \sqrt{ \frac{3 \rho_{р} + \rho_{в} }{ \rho_{р} - \rho_{в} } } \approx 1,0 c$.
В тонкой U-образной трубке постоянного сечения находятся вода и ртуть одинаковых объемов. Длина горизонтальной части трубки $l = 40 см$. Трубку раскрутили вокруг колена с водой, и оказалось, что уровни жидкостей в трубке одинаковы и равны $h = 25 см$ (рис.). Пренебрегая эффектом смачивания, определите период $T$ вращения трубки. Ускорение свободного падения $g = 9,8 м/с^{2}$, плотности воды и ртути $\rho_{в} = 1,0 г/см^{3}$ и $\rho_{р} = 13,5 г/см^{3}$.
Решение:
Запишем уравнение движения малого элемента жидкости длиной $\Delta r$, находящегося в горизонтальной части трубки на расстоянии $r$ от оси вращения:
$\omega^{2} r \rho S \Delta r = S \Delta p$,
где $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ - угловая скорость вращения трубки, $\Delta p$ - перепад давлений. При вычислении разности давлений на концах всего горизонтального участка трубки получим (рис.)
$p_{2} - p_{1} = \omega^{2} \rho \frac{r_{2}^{2} - r_{1}^{2} }{2}$.
В нашем случае, когда половина горизонтальной части трубки заполнена водой, а половина ртутью,
$p_{2} - p_{1} = \omega^{2} \rho_{в} \frac{ \left ( \frac{l}{2} \right )^{2} - 0 }{2} + \omega^{2} \rho_{р} \frac{l^{2} - \left ( \frac{l}{2} \right )^{2} }{2} = (3 \rho_{р} + \rho_{в} ) \frac{ \omega^{2}l^{2} }{8}$.
Этот перепад давлений и поддерживает разность давлений вертикальных столбов воды и ртути:
$( 3 \rho_{р} + \rho_{в} ) \frac{ \omega^{2}l^{2} }{8} = \rho_{р}gh - \rho_{в}gh$,
откуда находим
$T = \frac{2 \pi}{ \omega } = \frac{ \pi l}{ \sqrt{2gh} } \sqrt{ \frac{3 \rho_{р} + \rho_{в} }{ \rho_{р} - \rho_{в} } } \approx 1,0 c$.
