Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13839
2020-03-29 
Лейтенант-экспериментатор Глюк проводил свои исследования на военном полигоне с новыми сигнальными ракетами, которые во время полета с постоянной скоростью $v$ издают звук постоянной частоты $f_{0}$, при помощи датчиков частоты. Скорость звука на полигоне $v_{зв} = 330 м/с$.
1) Какой частоты звук будет принимать датчик, если ракета летит строго на него?
2) Какой частоты звук будет принимать датчик, расположенный на большом удалении от летящей ракеты, если угол между скоростью ракеты и направлением на датчик равен $\phi$?
3) Проводя исследования, лейтенант-экспериментатор Глюк случайно выпустил неисправную сигнальную ракету, которая стала летать вдоль поверхности полигона на малой высоте с той же постоянной скоростью $v$ по кругу радиусом $r$. Ракету успешно нейтрализовали, а лейтенант-экспериментатор обратил внимание на графики самописца, который записывал зависимость частоты звука от времени у двух датчиков 1 и 2, расположенных на полигоне. Используя полученные графики (рис.), помогите Глюку определить расстояние $L$ между этими датчиками.
Решение:
Если источник звука движется, то частота звука $f$, которую слышит неподвижный наблюдатель, может отличаться от испускаемой частоты $f_{0}$. Этот эффект называется эффектом Доплера.
1) Если ракета летит прямо на датчик, то
$f = f_{max} = \frac{f_{0} }{1 - \frac{v}{v_{зв} } }$,
и частота звука повышается.
2) При произвольном угле $\phi$
$f = \frac{f_{0} }{1 - \frac{v}{v_{зв} } \cos \phi }$.
Частота $f > f_{0}$, если проекция скорости ракеты на направление на датчик положительная ($\cos \phi > 0$), и $f < f_{0}$ - в обратном случае. Если $\phi = \frac{ \pi}{2}$, то $f = f_{0}$.
3) Существуют два принципиальных положения датчика: внутри круга, описываемого ракетой, и снаружи. Если датчик находится снаружи, то в этом случае точки, из которых от ракеты приходят максимальная и минимальная частоты, являются концами ( $M_{1}$ и $M_{2}$ соответственно) отрезков касания из положения датчика А к траектории ракеты (рис.). А так как, в силу симметрии, $AM_{1} = AM_{2}$, то задержки между испусканием и приемом звука для точек $M_{1}$ и $M_{2}$ одинаковы. Это означает, что они делят длину окружности в том же отношении, что и точки максимума и минимума на графике частоты делят период сигнала, и максимальная частота равна
$f_{max}^{внеш} = f_{max}$.
Если датчик находится внутри траектории (рис.), то угол $\phi$ между скоростью ракеты и направлением на датчик уже не сможет принимать значения 0 и $\pi$, как в предыдущем случае. Проведя рассуждения, аналогичные предыдущим, и воспользовавшись рисунком, найдем, что теперь максимальная частота равна
$f_{max}^{внут} = \frac{f_{0}}{1 - \frac{v}{v_{зв} } \cos \phi} = \frac{f_{0} }{1 - \frac{v}{v_{зв} } \frac{OB}{r} } < f_{max}$.
Обратимся теперь к графику частоты и заметим, что для обоих датчиков время от максимума до минимума частоты одно и тоже: $t_{1} = t_{2} = T/4 = 6 с$, где $T = 24 с$ - период сигнала (период вращения ракеты). Таким образом, в обоих случаях $2 \alpha = 2 \beta = \pi /2$. А так как при этом максимальная частота для датчика 1 больше максимальной частоты для датчика 2, то это возможно, только когда датчик 1 находится снаружи траектории, а датчик 2 - внутри. Из графика
$f_{max}^{ внеш} = 1,32 кГц , f_{min}^{ внеш} = 0,88 кГц$.
Тогда
$f_{0} = 1,056 кГц$ и $v = \frac{v_{зв}}{5} = 66 м/с$.
Зная период $T$ и скорость ракеты $v$, определим радиус ее траектории:
$r = \frac{vT}{2 \pi} = 252 м$
и расстояния от центра траектории до датчиков:
$OA = \frac{ r}{ \cos \alpha } = \sqrt{2r} = 357 м, OB = r \cos \beta = \frac{r}{ \sqrt{2} } = 178 м$.
Осталось найти угол $\Psi$ между OA и ОВ, который приводит к тому, что между максимумами графиков образуется по времени сдвиг $\tau = \frac{T}{3} = 8 c$. Однако надо учитывать, что в этот сдвиг входит разница во времени распространения сигнала от ракеты до датчиков. Таким образом,
$\Psi = \frac{ \tau }{T} + \frac{AM_{1} }{v_{зв}} - \frac{BN_{1} }{v_{зв} } = \frac{2 \pi}{3} + \frac{2 - \sqrt{2} }{10} = 2,15 рад$.
Отметим, что вклад от разницы задержек сигналов составляет около 3%, что является погрешностью того же порядка, что и погрешность определения времен по графику. Окончательно расстояние между датчиками найдем по теореме косинусов:
$L = \sqrt{OA^{2} + OB^{2} - 2OA \cdot OB \cos \Psi } = 478 м$.
Лейтенант-экспериментатор Глюк проводил свои исследования на военном полигоне с новыми сигнальными ракетами, которые во время полета с постоянной скоростью $v$ издают звук постоянной частоты $f_{0}$, при помощи датчиков частоты. Скорость звука на полигоне $v_{зв} = 330 м/с$.
1) Какой частоты звук будет принимать датчик, если ракета летит строго на него?
2) Какой частоты звук будет принимать датчик, расположенный на большом удалении от летящей ракеты, если угол между скоростью ракеты и направлением на датчик равен $\phi$?
3) Проводя исследования, лейтенант-экспериментатор Глюк случайно выпустил неисправную сигнальную ракету, которая стала летать вдоль поверхности полигона на малой высоте с той же постоянной скоростью $v$ по кругу радиусом $r$. Ракету успешно нейтрализовали, а лейтенант-экспериментатор обратил внимание на графики самописца, который записывал зависимость частоты звука от времени у двух датчиков 1 и 2, расположенных на полигоне. Используя полученные графики (рис.), помогите Глюку определить расстояние $L$ между этими датчиками.
Решение:
Если источник звука движется, то частота звука $f$, которую слышит неподвижный наблюдатель, может отличаться от испускаемой частоты $f_{0}$. Этот эффект называется эффектом Доплера.
1) Если ракета летит прямо на датчик, то
$f = f_{max} = \frac{f_{0} }{1 - \frac{v}{v_{зв} } }$,
и частота звука повышается.
2) При произвольном угле $\phi$
$f = \frac{f_{0} }{1 - \frac{v}{v_{зв} } \cos \phi }$.
Частота $f > f_{0}$, если проекция скорости ракеты на направление на датчик положительная ($\cos \phi > 0$), и $f < f_{0}$ - в обратном случае. Если $\phi = \frac{ \pi}{2}$, то $f = f_{0}$.
3) Существуют два принципиальных положения датчика: внутри круга, описываемого ракетой, и снаружи. Если датчик находится снаружи, то в этом случае точки, из которых от ракеты приходят максимальная и минимальная частоты, являются концами ( $M_{1}$ и $M_{2}$ соответственно) отрезков касания из положения датчика А к траектории ракеты (рис.). А так как, в силу симметрии, $AM_{1} = AM_{2}$, то задержки между испусканием и приемом звука для точек $M_{1}$ и $M_{2}$ одинаковы. Это означает, что они делят длину окружности в том же отношении, что и точки максимума и минимума на графике частоты делят период сигнала, и максимальная частота равна
$f_{max}^{внеш} = f_{max}$.
Если датчик находится внутри траектории (рис.), то угол $\phi$ между скоростью ракеты и направлением на датчик уже не сможет принимать значения 0 и $\pi$, как в предыдущем случае. Проведя рассуждения, аналогичные предыдущим, и воспользовавшись рисунком, найдем, что теперь максимальная частота равна
$f_{max}^{внут} = \frac{f_{0}}{1 - \frac{v}{v_{зв} } \cos \phi} = \frac{f_{0} }{1 - \frac{v}{v_{зв} } \frac{OB}{r} } < f_{max}$.
Обратимся теперь к графику частоты и заметим, что для обоих датчиков время от максимума до минимума частоты одно и тоже: $t_{1} = t_{2} = T/4 = 6 с$, где $T = 24 с$ - период сигнала (период вращения ракеты). Таким образом, в обоих случаях $2 \alpha = 2 \beta = \pi /2$. А так как при этом максимальная частота для датчика 1 больше максимальной частоты для датчика 2, то это возможно, только когда датчик 1 находится снаружи траектории, а датчик 2 - внутри. Из графика
$f_{max}^{ внеш} = 1,32 кГц , f_{min}^{ внеш} = 0,88 кГц$.
Тогда
$f_{0} = 1,056 кГц$ и $v = \frac{v_{зв}}{5} = 66 м/с$.
Зная период $T$ и скорость ракеты $v$, определим радиус ее траектории:
$r = \frac{vT}{2 \pi} = 252 м$
и расстояния от центра траектории до датчиков:
$OA = \frac{ r}{ \cos \alpha } = \sqrt{2r} = 357 м, OB = r \cos \beta = \frac{r}{ \sqrt{2} } = 178 м$.
Осталось найти угол $\Psi$ между OA и ОВ, который приводит к тому, что между максимумами графиков образуется по времени сдвиг $\tau = \frac{T}{3} = 8 c$. Однако надо учитывать, что в этот сдвиг входит разница во времени распространения сигнала от ракеты до датчиков. Таким образом,
$\Psi = \frac{ \tau }{T} + \frac{AM_{1} }{v_{зв}} - \frac{BN_{1} }{v_{зв} } = \frac{2 \pi}{3} + \frac{2 - \sqrt{2} }{10} = 2,15 рад$.
Отметим, что вклад от разницы задержек сигналов составляет около 3%, что является погрешностью того же порядка, что и погрешность определения времен по графику. Окончательно расстояние между датчиками найдем по теореме косинусов:
$L = \sqrt{OA^{2} + OB^{2} - 2OA \cdot OB \cos \Psi } = 478 м$.
