Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13838
2020-03-29 
На заводе воду в бутылках (рис.) обезгаживают (извлекают растворенный воздух), газируют углекислым газом до насыщения при температуре $t_{1} = 4^{ \circ} C$ и давлении $p_{1} = 150 кПа$, а затем герметично закрывают и отправляют на склад, где температура воздуха, согласно условиям хранения, не превышает $t_{2} = 35^{ \circ} C$. Пренебрегая изменением объема жидкости и бутылки, определите:
1) минимальный объем надводной части $V$, если максимальное давление в бутылке при хранении $p_{2} = 370 кПа$;
2) уровень $x$, до которого на заводе наливают воду, соответствующий этому объему.
Масса воды в бутылке $m_{в} = 2 кг$. Молярная масса углекислого газа $M = 44 г/моль$. Геометрические размеры бутылки: $d = 3 см, b = 10 см, h = 27 см, H = 30 см, D = 13 см$.
Примечание. Считайте, что растворимость газов $\sigma$ при постоянной температуре пропорциональна их парциальному давлению над жидкостью (закон Генри), а график зависимости растворимости углекислого газа в воде от температуры при его парциальном давлении $p_{0} = 100 кПа$ дан на рисунке. Парциальным давлением паров воды в данном диапазоне температур можно пренебречь. Растворимость $\sigma$ - это масса газа (в граммах), растворенного в 1 кг жидкости.
Решение:
При увеличении температуры в объеме $V$ между поверхностью воды и крышкой увеличивается давление газа. Это происходит из-за уменьшения растворимости углекислого газа и его выхода из жидкости. В предельном случае при максимальной температуре $t_{2}$ внутри бутылки должно оказаться максимально допустимое давление $p_{2}$. Найдем массу углекислого газа, которая дополнительно окажется в объеме $V$ при повышении температуры от $t_{1}$ до $t_{2}$. Для этого определим растворимости углекислого газа при этих температурах, воспользовавшись графиком и законом Генри:
$\sigma_{1} = \sigma_{1}^{ \prime} \frac{p_{1} }{p_{0} } \approx 4,50 г/кг, \sigma_{2} = \sigma_{2}^{ \prime} \frac{p_{2}}{p_{0} } \approx 4,07 г/кг$,
где $\sigma_{1}^{ \prime} = 3 г/кг$ и $\sigma_{2}^{ \prime} = 1,1 г/кг$. Таким образом, из-за роста температуры масса углекислого газа увеличилась на
$\Delta m = ( \sigma_{1} - \sigma_{2} ) m_{в} = 0,86 г$.
Если учесть еще массу $m_{1}$ углекислого газа, который находился над поверхностью воды при герметизации бутылки, то выражение для общей массы углекислого газа будет таким:
$m_{2} = m_{1} + \Delta m = \frac{p_{1}VM }{RT_{1} } + \Delta m$.
Давление этого газа в критическом случае равно $p_{2}$, и
$p_{2}V = \frac{m_{2} }{M} RT_{2} = p_{1}V \frac{T_{2} }{T_{1} } + \frac{ \Delta m}{M} RT_{2}$.
Таким образом, минимальный надводный объем бутылки равен
$V = \frac{ \Delta m}{M} \frac{RT_{1}T_{2}}{p_{2}T_{1} - p_{1}T_{2} } \approx 250 см^{3}$.
Этот объем складывается из верхнего цилиндрического объема и нижнего конического. Из геометрии находим допустимый уровень жидкости:
$x \approx 20 см$.
На заводе воду в бутылках (рис.) обезгаживают (извлекают растворенный воздух), газируют углекислым газом до насыщения при температуре $t_{1} = 4^{ \circ} C$ и давлении $p_{1} = 150 кПа$, а затем герметично закрывают и отправляют на склад, где температура воздуха, согласно условиям хранения, не превышает $t_{2} = 35^{ \circ} C$. Пренебрегая изменением объема жидкости и бутылки, определите:
1) минимальный объем надводной части $V$, если максимальное давление в бутылке при хранении $p_{2} = 370 кПа$;
2) уровень $x$, до которого на заводе наливают воду, соответствующий этому объему.
Масса воды в бутылке $m_{в} = 2 кг$. Молярная масса углекислого газа $M = 44 г/моль$. Геометрические размеры бутылки: $d = 3 см, b = 10 см, h = 27 см, H = 30 см, D = 13 см$.
Примечание. Считайте, что растворимость газов $\sigma$ при постоянной температуре пропорциональна их парциальному давлению над жидкостью (закон Генри), а график зависимости растворимости углекислого газа в воде от температуры при его парциальном давлении $p_{0} = 100 кПа$ дан на рисунке. Парциальным давлением паров воды в данном диапазоне температур можно пренебречь. Растворимость $\sigma$ - это масса газа (в граммах), растворенного в 1 кг жидкости.
Решение:
При увеличении температуры в объеме $V$ между поверхностью воды и крышкой увеличивается давление газа. Это происходит из-за уменьшения растворимости углекислого газа и его выхода из жидкости. В предельном случае при максимальной температуре $t_{2}$ внутри бутылки должно оказаться максимально допустимое давление $p_{2}$. Найдем массу углекислого газа, которая дополнительно окажется в объеме $V$ при повышении температуры от $t_{1}$ до $t_{2}$. Для этого определим растворимости углекислого газа при этих температурах, воспользовавшись графиком и законом Генри:
$\sigma_{1} = \sigma_{1}^{ \prime} \frac{p_{1} }{p_{0} } \approx 4,50 г/кг, \sigma_{2} = \sigma_{2}^{ \prime} \frac{p_{2}}{p_{0} } \approx 4,07 г/кг$,
где $\sigma_{1}^{ \prime} = 3 г/кг$ и $\sigma_{2}^{ \prime} = 1,1 г/кг$. Таким образом, из-за роста температуры масса углекислого газа увеличилась на
$\Delta m = ( \sigma_{1} - \sigma_{2} ) m_{в} = 0,86 г$.
Если учесть еще массу $m_{1}$ углекислого газа, который находился над поверхностью воды при герметизации бутылки, то выражение для общей массы углекислого газа будет таким:
$m_{2} = m_{1} + \Delta m = \frac{p_{1}VM }{RT_{1} } + \Delta m$.
Давление этого газа в критическом случае равно $p_{2}$, и
$p_{2}V = \frac{m_{2} }{M} RT_{2} = p_{1}V \frac{T_{2} }{T_{1} } + \frac{ \Delta m}{M} RT_{2}$.
Таким образом, минимальный надводный объем бутылки равен
$V = \frac{ \Delta m}{M} \frac{RT_{1}T_{2}}{p_{2}T_{1} - p_{1}T_{2} } \approx 250 см^{3}$.
Этот объем складывается из верхнего цилиндрического объема и нижнего конического. Из геометрии находим допустимый уровень жидкости:
$x \approx 20 см$.
