Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13837
2020-03-29 
Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли оптическую схему, на которой были изображены идеальная тонкая линза, предмет и его изображение. Из текста следует, что предмет представляет собой стержень длиной $l$ с двумя точечными источниками на концах. Стержень и главная оптическая ось находились в плоскости рисунка, а также стержень не пересекал плоскость линзы. От времени чернила выцвели, и на рисунке остались видны лишь сами источники и их изображения, причем неизвестно, какая из четырех точек чему соответствует (рис.). Интересно, что эти точки располагаются в вершинах и в центре равностороннего треугольника.
1) Определите, самому предмету или его изображению принадлежит точка в центре треугольника.
2) Восстановите оптическую схему (предмет, изображение, линзу, ее главную оптическую ось, фокусы) с точностью до поворота рисунка на $120^{ \circ}$ и до отражения.
3) Найдите фокусное расстояние линзы.
Примечание. Линза называется идеальной, если любой пучок параллельных лучей фокусируется в ее фокальной плоскости.
Решение:
Предположим, что стержень с источниками - одна из сторон треугольника, например $AB$, точки $A_{1}$ и $B_{1}$ - изображения источников (рис.). Тогда лучи $AA_{1}$ и $BB_{1}$ пересекаются на середине стороны $BB_{1}$ в точке $O$, которая является центром линзы. Луч, идущий от $A$ через $B$, преломляется в плоскости линзы и идет далее через изображения $A_{1}$ и $B_{1}$. Тогда середина $AB$ - точка $K$ - принадлежит плоскости линзы. Но в этом случае плоскость линзы $OK$ пересекает стержень $AB$, что невозможно. Следовательно, центр треугольника - это один из концов стержня. Рассмотрим этот вариант (рис.). Прямые $AB$ и $A_{1}B_{1}$ пересекаются в середине $A_{1}B_{1}$ - в точке $K$, принадлежащей плоскости линзы. Тогда $OK$ - плоскость линзы, точка $O$ - ее центр. Прямая $PQ$, проходящая через точку $O$ перпендикулярно $OK$, - главная оптическая ось. Точки $A$ и $B$ - концы изображения. Само изображение "разорвано" и представляет два луча, лежащие на прямой $A_{1}B_{1}$: уходящий из точки $A_{1}$ в бесконечность и приходящий в $B_{1}$ из бесконечности. Линза собирающая, только такая линза может давать "разорванное" изображение.
Определить положение фокусов и фокусное расстояние несложно. Пустим луч $AM$ из точки $A$ параллельно оси линзы $PQ$ до пересечения с плоскостью линзы в точке $M$. После преломления луч пойдет через изображение $A_{1}$. Пересечение $MA_{1}$ с $PQ$ - точка $F$ - и есть главный фокус линзы. Так как $OK$ - средняя линия треугольника, а точка $O$ - середина $AA_{1}$, то $OF = \frac{1}{4} h$, где $h = \frac{3}{2} AB = \frac{3}{2}l$ - высота треугольника. Таким образом, фокусное расстояние $OF = \frac{3}{8}l$.
Говорят, что в архиве Снеллиуса нашли оптическую схему, на которой были изображены идеальная тонкая линза, предмет и его изображение. Из текста следует, что предмет представляет собой стержень длиной $l$ с двумя точечными источниками на концах. Стержень и главная оптическая ось находились в плоскости рисунка, а также стержень не пересекал плоскость линзы. От времени чернила выцвели, и на рисунке остались видны лишь сами источники и их изображения, причем неизвестно, какая из четырех точек чему соответствует (рис.). Интересно, что эти точки располагаются в вершинах и в центре равностороннего треугольника.
1) Определите, самому предмету или его изображению принадлежит точка в центре треугольника.
2) Восстановите оптическую схему (предмет, изображение, линзу, ее главную оптическую ось, фокусы) с точностью до поворота рисунка на $120^{ \circ}$ и до отражения.
3) Найдите фокусное расстояние линзы.
Примечание. Линза называется идеальной, если любой пучок параллельных лучей фокусируется в ее фокальной плоскости.
Решение:
Предположим, что стержень с источниками - одна из сторон треугольника, например $AB$, точки $A_{1}$ и $B_{1}$ - изображения источников (рис.). Тогда лучи $AA_{1}$ и $BB_{1}$ пересекаются на середине стороны $BB_{1}$ в точке $O$, которая является центром линзы. Луч, идущий от $A$ через $B$, преломляется в плоскости линзы и идет далее через изображения $A_{1}$ и $B_{1}$. Тогда середина $AB$ - точка $K$ - принадлежит плоскости линзы. Но в этом случае плоскость линзы $OK$ пересекает стержень $AB$, что невозможно. Следовательно, центр треугольника - это один из концов стержня. Рассмотрим этот вариант (рис.). Прямые $AB$ и $A_{1}B_{1}$ пересекаются в середине $A_{1}B_{1}$ - в точке $K$, принадлежащей плоскости линзы. Тогда $OK$ - плоскость линзы, точка $O$ - ее центр. Прямая $PQ$, проходящая через точку $O$ перпендикулярно $OK$, - главная оптическая ось. Точки $A$ и $B$ - концы изображения. Само изображение "разорвано" и представляет два луча, лежащие на прямой $A_{1}B_{1}$: уходящий из точки $A_{1}$ в бесконечность и приходящий в $B_{1}$ из бесконечности. Линза собирающая, только такая линза может давать "разорванное" изображение.
Определить положение фокусов и фокусное расстояние несложно. Пустим луч $AM$ из точки $A$ параллельно оси линзы $PQ$ до пересечения с плоскостью линзы в точке $M$. После преломления луч пойдет через изображение $A_{1}$. Пересечение $MA_{1}$ с $PQ$ - точка $F$ - и есть главный фокус линзы. Так как $OK$ - средняя линия треугольника, а точка $O$ - середина $AA_{1}$, то $OF = \frac{1}{4} h$, где $h = \frac{3}{2} AB = \frac{3}{2}l$ - высота треугольника. Таким образом, фокусное расстояние $OF = \frac{3}{8}l$.
