Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13836
2020-03-29 
Из одного куска проволоки спаяна плоская фигура, состоящая из трех квадратов со стороной $a$ (рис.). В один из отрезков проволоки впаян небольшой по размерам конденсатор емкостью $C$. Конструкция находится в однородном магнитном поле $\vec{B}$, которое перпендикулярно плоскости фигуры и увеличивается с постоянной скоростью $\frac{dB}{dt} = k > 0$. Сопротивление куска проволоки длиной $a$ равно $r$. Для установившегося режима определите:
1) силу и направление тока в отрезке AD;
2) заряд $Q$ на конденсаторе и знаки зарядов на его обкладках;
3) количество теплоты $W$, выделившееся в цепи за время $\tau$.
Решение:
1) Через достаточно большое время конденсатор зарядится так, что ток через него течь не будет, и токи во всей цепи установятся. Предположим, что токи текут так, как показано на рисунке. Запишем второй закон Кирхгофа для двух контуров:
$\mathcal{E}_{AFED} = 5I_{1}r + 3I_{2}r$,
$\mathcal{E}_{AGLD} = 5I_{1}r + I_{3}r$
и первый закон Кирхгофа для точки $L$:
$I_{1} = I_{2} + I_{3}$.
Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея,
$\mathcal{E}_{AFED} = \frac{d(B \cdot 3a^{2})}{dt} = 3ka^{2}, \mathcal{E}_{AGLD} = 2ka^{2}$.
Обозначим $\frac{ka^{2} }{r} = I_{0}$ и получим
$I_{1} = \frac{9}{23} I_{0}, I_{2} = \frac{8}{23} I_{0}, I_{3} = \frac{1}{23}I_{0}$.
Отсюда и из условия $k > 0$ следует, что ток $I_{1}$ на участке AD течет от D к А.
2) Рассмотрим контур AHKD и запишем
$I_{0}r = ka^{2} = \mathcal{E}_{AHKD} = I_{1} \cdot 3r + U_{C}$,
где $U_{C}$ - напряжение между верхней и нижней обкладками конденсатора. Следовательно,
$U_{C} = - \frac{4}{23} ka^{2}$, откуда $Q = \frac{4}{23} Cka^{2}$,
при этом заряд верхней обкладки отрицательный, нижней -положительный.
3) Тепловая мощность в цепи равна сумме мощностей на всех проводниках:
$P = 5I_{1}^{2}r + 3I_{2}^{2}r + I_{3}^{2}r = \frac{26}{23} \frac{k^{2}a^{4} }{r}$, откуда $W = N \tau = \frac{26}{23} \frac{k^{2}a^{4} }{r} \tau$.
Из одного куска проволоки спаяна плоская фигура, состоящая из трех квадратов со стороной $a$ (рис.). В один из отрезков проволоки впаян небольшой по размерам конденсатор емкостью $C$. Конструкция находится в однородном магнитном поле $\vec{B}$, которое перпендикулярно плоскости фигуры и увеличивается с постоянной скоростью $\frac{dB}{dt} = k > 0$. Сопротивление куска проволоки длиной $a$ равно $r$. Для установившегося режима определите:
1) силу и направление тока в отрезке AD;
2) заряд $Q$ на конденсаторе и знаки зарядов на его обкладках;
3) количество теплоты $W$, выделившееся в цепи за время $\tau$.
Решение:
1) Через достаточно большое время конденсатор зарядится так, что ток через него течь не будет, и токи во всей цепи установятся. Предположим, что токи текут так, как показано на рисунке. Запишем второй закон Кирхгофа для двух контуров:
$\mathcal{E}_{AFED} = 5I_{1}r + 3I_{2}r$,
$\mathcal{E}_{AGLD} = 5I_{1}r + I_{3}r$
и первый закон Кирхгофа для точки $L$:
$I_{1} = I_{2} + I_{3}$.
Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея,
$\mathcal{E}_{AFED} = \frac{d(B \cdot 3a^{2})}{dt} = 3ka^{2}, \mathcal{E}_{AGLD} = 2ka^{2}$.
Обозначим $\frac{ka^{2} }{r} = I_{0}$ и получим
$I_{1} = \frac{9}{23} I_{0}, I_{2} = \frac{8}{23} I_{0}, I_{3} = \frac{1}{23}I_{0}$.
Отсюда и из условия $k > 0$ следует, что ток $I_{1}$ на участке AD течет от D к А.
2) Рассмотрим контур AHKD и запишем
$I_{0}r = ka^{2} = \mathcal{E}_{AHKD} = I_{1} \cdot 3r + U_{C}$,
где $U_{C}$ - напряжение между верхней и нижней обкладками конденсатора. Следовательно,
$U_{C} = - \frac{4}{23} ka^{2}$, откуда $Q = \frac{4}{23} Cka^{2}$,
при этом заряд верхней обкладки отрицательный, нижней -положительный.
3) Тепловая мощность в цепи равна сумме мощностей на всех проводниках:
$P = 5I_{1}^{2}r + 3I_{2}^{2}r + I_{3}^{2}r = \frac{26}{23} \frac{k^{2}a^{4} }{r}$, откуда $W = N \tau = \frac{26}{23} \frac{k^{2}a^{4} }{r} \tau$.
