Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13830
2020-03-29 
Мешочек с песком бросают с горизонтальной поверхности земли под некоторым углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_{0}$. После приземления он теряет вертикальную составляющую скорости. Найдите максимальное горизонтальное перемещение мешочка относительно точки бросания и угол $\alpha$, при котором оно достигается. Коэффициент трения между мешочком и плоскостью равен $\mu$. Ускорение свободного падения равно $g$. Время удара считайте малым.
Решение:
Перед ударом о землю скорость мешочка равна $v_{0}$ и направлена под углом $\alpha$ к горизонту. Во время соударения на мешочек действует вертикальная сила реакция опоры $N$ и горизонтальная сила трения $F$. Если в течение всего удара выполняется равенство $F = \mu N$, то импульс, сообщенный мешочку силой трения, будет в $\mu$ раз больше импульса, сообщенного силой $N$. Отсюда можно найти скорость мешочка по окончании удара:
$mu = mv_{x} - \mu mv_{y}$, или $u = v_{0} ( \cos \alpha - \mu \sin \alpha )$.
При $\mu > ctg \alpha$ скорость $u$ получается отрицательной. Это означает, что в этом случае горизонтальная скорость мешочка обратится в ноль еще до окончания удара по вертикали, т.е. мешочек сразу после удара будет неподвижен. Таким образом, в этой задаче возможны два случая, требующие раздельного рассмотрения.
1. При $ctg \alpha < \mu$ мешочек в результате удара останавливается, дальность полета равна
$L_{1} = \frac{v_{0}^{2}}{g} \sin 2 \alpha$, и $L_{1max} = \frac{v_{0}^{2} }{g}$,
при этом $\alpha = 45^{ \circ}$.
2. При $ctg \alpha > \mu$ мешочек после удара некоторое время скользит по поверхности, проходя дополнительное расстояние. Полная дальность $L_{2}$ в этом случае складывается из дальности полета $l_{1}$ и расстояния $l_{2}$, пройденного мешочком по поверхности до остановки:
$l_{1} = \frac{v_{0}^{2}}{g} \sin 2 \alpha$,
$l_{2} = \frac{u^{2} }{2a}$, где $u = v_{0} ( \cos \alpha - \mu \sin \alpha ), a = \mu g$,
$L_{2} = l_{1} + l_{2} = \frac{v_{0}^{2} }{g} \sin 2 \alpha + \frac{v_{0}^{2}}{2 \mu g} ( \cos \alpha - \mu \sin \alpha )^{2} = \frac{v_{0}^{2} }{2 \mu g} (4 \mu \sin \alpha \cos \alpha + ( \cos \alpha - \mu \sin \alpha )^{2} ) = \frac{v_{0}^{2} }{2 \mu g} ( \cos \alpha + \mu \sin \alpha )^{2}$.
Максимум выражения $\cos \alpha + \mu \sin \alpha$ достигается при $tg \alpha = \mu$ и равен $\sqrt{ \mu^{2} + 1}$, поэтому для максимальной дальности во втором случае получаем
$L_{2max} = \frac{v_{0}^{2} }{g} \frac{ \mu^{2} + 1 }{2 \mu }$.
Мешочек с песком бросают с горизонтальной поверхности земли под некоторым углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_{0}$. После приземления он теряет вертикальную составляющую скорости. Найдите максимальное горизонтальное перемещение мешочка относительно точки бросания и угол $\alpha$, при котором оно достигается. Коэффициент трения между мешочком и плоскостью равен $\mu$. Ускорение свободного падения равно $g$. Время удара считайте малым.
Решение:
Перед ударом о землю скорость мешочка равна $v_{0}$ и направлена под углом $\alpha$ к горизонту. Во время соударения на мешочек действует вертикальная сила реакция опоры $N$ и горизонтальная сила трения $F$. Если в течение всего удара выполняется равенство $F = \mu N$, то импульс, сообщенный мешочку силой трения, будет в $\mu$ раз больше импульса, сообщенного силой $N$. Отсюда можно найти скорость мешочка по окончании удара:
$mu = mv_{x} - \mu mv_{y}$, или $u = v_{0} ( \cos \alpha - \mu \sin \alpha )$.
При $\mu > ctg \alpha$ скорость $u$ получается отрицательной. Это означает, что в этом случае горизонтальная скорость мешочка обратится в ноль еще до окончания удара по вертикали, т.е. мешочек сразу после удара будет неподвижен. Таким образом, в этой задаче возможны два случая, требующие раздельного рассмотрения.
1. При $ctg \alpha < \mu$ мешочек в результате удара останавливается, дальность полета равна
$L_{1} = \frac{v_{0}^{2}}{g} \sin 2 \alpha$, и $L_{1max} = \frac{v_{0}^{2} }{g}$,
при этом $\alpha = 45^{ \circ}$.
2. При $ctg \alpha > \mu$ мешочек после удара некоторое время скользит по поверхности, проходя дополнительное расстояние. Полная дальность $L_{2}$ в этом случае складывается из дальности полета $l_{1}$ и расстояния $l_{2}$, пройденного мешочком по поверхности до остановки:
$l_{1} = \frac{v_{0}^{2}}{g} \sin 2 \alpha$,
$l_{2} = \frac{u^{2} }{2a}$, где $u = v_{0} ( \cos \alpha - \mu \sin \alpha ), a = \mu g$,
$L_{2} = l_{1} + l_{2} = \frac{v_{0}^{2} }{g} \sin 2 \alpha + \frac{v_{0}^{2}}{2 \mu g} ( \cos \alpha - \mu \sin \alpha )^{2} = \frac{v_{0}^{2} }{2 \mu g} (4 \mu \sin \alpha \cos \alpha + ( \cos \alpha - \mu \sin \alpha )^{2} ) = \frac{v_{0}^{2} }{2 \mu g} ( \cos \alpha + \mu \sin \alpha )^{2}$.
Максимум выражения $\cos \alpha + \mu \sin \alpha$ достигается при $tg \alpha = \mu$ и равен $\sqrt{ \mu^{2} + 1}$, поэтому для максимальной дальности во втором случае получаем
$L_{2max} = \frac{v_{0}^{2} }{g} \frac{ \mu^{2} + 1 }{2 \mu }$.
