Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13827
2020-03-29 
Тонкое проволочное кольцо массой $M$ стоит на горизонтальной плоскости (рис.). По кольцу могут скользить без трения две одинаковые бусинки массой $m$ каждая. В начальный момент времени бусинки находятся вблизи верхней точки кольца. Их одновременно отпускают, и они начинают двигаться симметрично. При каком отношении масс $n = \frac{m}{M}$ кольцо оторвется от плоскости?
Решение:
В силу симметрии системы, при движении бусинок кольцо не будет смещаться по горизонтали. Для отрыва кольца от плоскости необходимо, чтобы выполнялось условие $N_{1} = 0$ (рис.). Это возможно, если силы реакции $N$ со стороны бусинок на кольцо направлены от центра кольца. К этому моменту времени каждая из бусинок сместится от вертикали на угол $\alpha$ (рис.). Тогда по второму закону Ньютона для каждой из них будет справедливо соотношение
$m \frac{v^{2}}{R} = F + mg \cos \alpha$,
где $F = N$ - сила, действующая на бусинку со стороны кольца. Согласно закону сохранения энергии,
$m \frac{v^{2} }{2} = mgR(1 - \cos \alpha )$.
Решая совместно эти уравнения, получим
$N = mg (2 - 3 \cos \alpha )$.
Для момента отрыва кольца
$2N \cos \alpha = Mg$.
Отсюда найдем
$n = \frac{m}{M} = \frac{1}{2 (2 \cos \alpha - 3 \cos^{2} \alpha ) }$.
В знаменателе - квадратичная зависимость с максимумом, соответствующим $\cos \alpha = \frac{1}{3}$, при этом $\frac{m}{M} = \frac{3}{2}$. Следовательно, отрыв происходит при
$n = \frac{m}{M} \geq \frac{3}{2}$.
Тонкое проволочное кольцо массой $M$ стоит на горизонтальной плоскости (рис.). По кольцу могут скользить без трения две одинаковые бусинки массой $m$ каждая. В начальный момент времени бусинки находятся вблизи верхней точки кольца. Их одновременно отпускают, и они начинают двигаться симметрично. При каком отношении масс $n = \frac{m}{M}$ кольцо оторвется от плоскости?
Решение:
В силу симметрии системы, при движении бусинок кольцо не будет смещаться по горизонтали. Для отрыва кольца от плоскости необходимо, чтобы выполнялось условие $N_{1} = 0$ (рис.). Это возможно, если силы реакции $N$ со стороны бусинок на кольцо направлены от центра кольца. К этому моменту времени каждая из бусинок сместится от вертикали на угол $\alpha$ (рис.). Тогда по второму закону Ньютона для каждой из них будет справедливо соотношение
$m \frac{v^{2}}{R} = F + mg \cos \alpha$,
где $F = N$ - сила, действующая на бусинку со стороны кольца. Согласно закону сохранения энергии,
$m \frac{v^{2} }{2} = mgR(1 - \cos \alpha )$.
Решая совместно эти уравнения, получим
$N = mg (2 - 3 \cos \alpha )$.
Для момента отрыва кольца
$2N \cos \alpha = Mg$.
Отсюда найдем
$n = \frac{m}{M} = \frac{1}{2 (2 \cos \alpha - 3 \cos^{2} \alpha ) }$.
В знаменателе - квадратичная зависимость с максимумом, соответствующим $\cos \alpha = \frac{1}{3}$, при этом $\frac{m}{M} = \frac{3}{2}$. Следовательно, отрыв происходит при
$n = \frac{m}{M} \geq \frac{3}{2}$.
