Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13826
2020-03-29 
В теплоизолированном цилиндре на расстоянии $L = 80 см$ друг от друга находятся два легкоподвижных теплопроводящих поршня (рис.). Пространство между ними заполнено водой, а снаружи на поршни действует атмосферное давление. Слева от левого поршня включили холодильник, который поддерживает постоянную температуру $t_{1} = - 40^{ \circ} C$, а справа от правого включили нагреватель, поддерживающий постоянную температуру $t_{2} = 16^{ \circ} C$. Через некоторое время система пришла в стационарное состояние, и расстояние между поршнями стало $L_{2}$. После этого поршни снаружи теплоизолировали и дождались установления теплового равновесия в цилиндре. Расстояние между поршнями стало $L_{3}$. Найдите расстояния $L_{2}$ и $L_{3}$. Плотность льда $\rho_{л} = 900 кг/м^{3}$, плотность воды $\rho_{в} = 1000 кг/м^{3}$, удельная теплоемкость воды $c_{в} = 4200 Дж/(кг \cdot ^{ \circ} С)$, удельная теплоемкость льда $c_{л} = 2100 Дж/(кг \cdot ^{ \circ} С)$, удельная теплота плавления льда $\lambda = 330 кДж/кг$, коэффициент теплопроводности льда в 4 раза больше коэффициента теплопроводности воды.
Указание. Считайте, что мощность теплового потока $P$ вдоль цилиндра, между торцами которого поддерживается постоянная разность температур $\Delta t$, равна $P = \frac{kS \Delta t}{L}$, где $k$ - коэффициент теплопроводности среды, $S$ - площадь торца цилиндра, $L$ - длина цилиндра.
Решение:
Пусть в первом случае столб воды имеет длину $L_{в}$, а столб льда - $L_{л}$. Тогда
$L_{в} + L_{л} = L_{2}$.
Так как масса содержимого между поршнями постоянна, то
$L_{в} \rho_{в} + L_{л} \rho_{л} = L_{1} \rho_{в}$.
Поскольку тепловые потоки через лед и воду равны, то
$\frac{kS ( t_{2} - t_{0} )}{L_{в}} = \frac{4kS ( t_{0} - t_{1})}{L_{л} }$, где $t_{0} = 0^{ \circ} C$.
Отсюда получим
$L_{в} = 8 см$, и $L_{2} = 11L_{в} = 88 см$.
Тепловой поток $P$ через каждое сечение цилиндра одинаков:
$P = \frac{kS ( t_{2}^{ \prime} - t_{1}^{ \prime} )}{ \Delta L}$,
где $t_{1}^{ \prime}, t_{2}^{ \prime}$ - температуры слева и справа от фрагмента цилиндра длиной $\Delta L$. Отсюда
$t_{2}^{ \prime} - t_{1}^{ \prime} = \frac{P \Delta L}{kS}$, и $\Delta t \sim \Delta L$.
Это означает, что температура льда и воды от поршня до границы раздела изменяется по линейному закону, поэтому можно считать, что соответствующие части системы имеют среднюю температуру, т.е.
$t_{л} = -20^{ \circ} C, t_{в} = 8^{ \circ} C$.
После того как систему теплоизолировали, между поршнями устанавливается тепловое равновесие с некоторой температурой $t$. При охлаждении воды до температуры плавления выделится количество теплоты
$Q_{1} = L_{в}S \rho_{в}c_{в}t_{в} = 33600L_{в} S \rho_{в}$.
Для нагревания льда до температуры плавления потребуется количество теплоты
$Q_{2} = 10L_{в}S \cdot 0,9 \rho_{в} \cdot 0,5c_{в} (0 - t_{л} ) = 378000L_{в}S \rho_{в}$.
Видно, что $Q_{2} > Q_{1}$. Следовательно, вода точно охладится до $0^{ \circ} С$ и начнет замерзать. При замерзании выделится количество теплоты
$Q_{3} = \lambda L_{в}S \rho_{в} = 330000L_{в}S \rho_{в}$.
Этого тепла не хватит, чтобы нагреть лед до температуры плавления. Значит, вся вода замерзнет. Тогда
$L_{3} = \frac{10}{9} L_{1} \approx 88,9 см$.
В теплоизолированном цилиндре на расстоянии $L = 80 см$ друг от друга находятся два легкоподвижных теплопроводящих поршня (рис.). Пространство между ними заполнено водой, а снаружи на поршни действует атмосферное давление. Слева от левого поршня включили холодильник, который поддерживает постоянную температуру $t_{1} = - 40^{ \circ} C$, а справа от правого включили нагреватель, поддерживающий постоянную температуру $t_{2} = 16^{ \circ} C$. Через некоторое время система пришла в стационарное состояние, и расстояние между поршнями стало $L_{2}$. После этого поршни снаружи теплоизолировали и дождались установления теплового равновесия в цилиндре. Расстояние между поршнями стало $L_{3}$. Найдите расстояния $L_{2}$ и $L_{3}$. Плотность льда $\rho_{л} = 900 кг/м^{3}$, плотность воды $\rho_{в} = 1000 кг/м^{3}$, удельная теплоемкость воды $c_{в} = 4200 Дж/(кг \cdot ^{ \circ} С)$, удельная теплоемкость льда $c_{л} = 2100 Дж/(кг \cdot ^{ \circ} С)$, удельная теплота плавления льда $\lambda = 330 кДж/кг$, коэффициент теплопроводности льда в 4 раза больше коэффициента теплопроводности воды.
Указание. Считайте, что мощность теплового потока $P$ вдоль цилиндра, между торцами которого поддерживается постоянная разность температур $\Delta t$, равна $P = \frac{kS \Delta t}{L}$, где $k$ - коэффициент теплопроводности среды, $S$ - площадь торца цилиндра, $L$ - длина цилиндра.
Решение:
Пусть в первом случае столб воды имеет длину $L_{в}$, а столб льда - $L_{л}$. Тогда
$L_{в} + L_{л} = L_{2}$.
Так как масса содержимого между поршнями постоянна, то
$L_{в} \rho_{в} + L_{л} \rho_{л} = L_{1} \rho_{в}$.
Поскольку тепловые потоки через лед и воду равны, то
$\frac{kS ( t_{2} - t_{0} )}{L_{в}} = \frac{4kS ( t_{0} - t_{1})}{L_{л} }$, где $t_{0} = 0^{ \circ} C$.
Отсюда получим
$L_{в} = 8 см$, и $L_{2} = 11L_{в} = 88 см$.
Тепловой поток $P$ через каждое сечение цилиндра одинаков:
$P = \frac{kS ( t_{2}^{ \prime} - t_{1}^{ \prime} )}{ \Delta L}$,
где $t_{1}^{ \prime}, t_{2}^{ \prime}$ - температуры слева и справа от фрагмента цилиндра длиной $\Delta L$. Отсюда
$t_{2}^{ \prime} - t_{1}^{ \prime} = \frac{P \Delta L}{kS}$, и $\Delta t \sim \Delta L$.
Это означает, что температура льда и воды от поршня до границы раздела изменяется по линейному закону, поэтому можно считать, что соответствующие части системы имеют среднюю температуру, т.е.
$t_{л} = -20^{ \circ} C, t_{в} = 8^{ \circ} C$.
После того как систему теплоизолировали, между поршнями устанавливается тепловое равновесие с некоторой температурой $t$. При охлаждении воды до температуры плавления выделится количество теплоты
$Q_{1} = L_{в}S \rho_{в}c_{в}t_{в} = 33600L_{в} S \rho_{в}$.
Для нагревания льда до температуры плавления потребуется количество теплоты
$Q_{2} = 10L_{в}S \cdot 0,9 \rho_{в} \cdot 0,5c_{в} (0 - t_{л} ) = 378000L_{в}S \rho_{в}$.
Видно, что $Q_{2} > Q_{1}$. Следовательно, вода точно охладится до $0^{ \circ} С$ и начнет замерзать. При замерзании выделится количество теплоты
$Q_{3} = \lambda L_{в}S \rho_{в} = 330000L_{в}S \rho_{в}$.
Этого тепла не хватит, чтобы нагреть лед до температуры плавления. Значит, вся вода замерзнет. Тогда
$L_{3} = \frac{10}{9} L_{1} \approx 88,9 см$.
