Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13824
2020-03-29 
Свободное неподвижное ядро атома олова $^{119}Sn$ испускает $\gamma$ - квант с энергией $E_{ \gamma } = 22,5 кэВ$, который затем поглощается таким же ядром, движущимся навстречу $\gamma$ - кванту. Найдите скорость v движущегося ядра, если известно, что при испускании и поглощении $\gamma$ - кванта ядро переходит между одними и теми же энергетическими уровнями. Энергия покоя ядра олова равна $mc^{2} = 113 ГэВ$.
Решение:
Важную роль в физике микромира играют законы сохранения импульса и энергии.
Напомним, что гамма-квант излучается при переходе атомных ядер из возбужденных состояний с большей энергией в состояния с меньшей энергией. Пусть $\Delta E$ - разность энергий ядра до и после испускания $\gamma$ - кванта. В процессе испускания сохраняются импульс и энергия:
$\vec{p}_{ \gamma} + \vec{p} = 0$,
$\Delta E = E_{ \gamma} + \frac{p^{2} }{2m}$.
Здесь $p_{ \gamma}$ - импульс $\gamma$ - кванта, связанный с его энергией соотношением $p_{ \gamma} = \frac{E_{ \gamma} }{c}$ ($c$ - скорость света), $p$ - импульс ядра отдачи. Тогда закон сохранения энергии можно представить в виде
$\Delta E = E_{ \gamma} + \frac{E_{ \gamma}^{2} }{2mc^{2} }$.
При поглощении $\gamma$ - кванта движущимся навстречу ядром тоже сохраняются импульс и энергия, а переход ядра происходит между теми же энергетическими уровнями:
$\vec{p}_{ \gamma} + \vec{p}_{1} = \vec{p}_{2}, \vec{E}_{ \gamma} + \frac{p_{1}^{2} }{2m} = \Delta E + \frac{p_{2}^{2} }{2m}$.
Из законов сохранения энергии при испускании и поглощении $\gamma$ - излучения следует
$\frac{p_{1}^{2} }{2m} = \frac{E_{ \gamma}^{2} }{2mc^{2} } + \frac{p_{2}^{2} }{2m}$.
Закон сохранения импульса при поглощении запишем в виде
$p_{1} - \frac{E_{ \gamma} }{c} = p_{2} $
Возведем в квадрат и разделим на $2m$ обе части этого равенства, получим
$\frac{p_{1}^{2} }{2m} - \frac{p_{1}E_{ \gamma} }{mc} + \frac{E_{ \gamma}^{2} }{2mc^{2} } = \frac{p_{2}^{2} }{2m}$.
Из приведенных соотношений находим
$p_{1} = \frac{E_{ \gamma} }{c}$,
откуда
$v = \frac{p_{1} }{m} = \frac{E_{ \gamma} }{mc} = \frac{E_{ \gamma} }{ mc^{2} } c = 60 м/с$.
Ответ подтверждает нерелятивистское приближение, использованное в решении.
Свободное неподвижное ядро атома олова $^{119}Sn$ испускает $\gamma$ - квант с энергией $E_{ \gamma } = 22,5 кэВ$, который затем поглощается таким же ядром, движущимся навстречу $\gamma$ - кванту. Найдите скорость v движущегося ядра, если известно, что при испускании и поглощении $\gamma$ - кванта ядро переходит между одними и теми же энергетическими уровнями. Энергия покоя ядра олова равна $mc^{2} = 113 ГэВ$.
Решение:
Важную роль в физике микромира играют законы сохранения импульса и энергии.
Напомним, что гамма-квант излучается при переходе атомных ядер из возбужденных состояний с большей энергией в состояния с меньшей энергией. Пусть $\Delta E$ - разность энергий ядра до и после испускания $\gamma$ - кванта. В процессе испускания сохраняются импульс и энергия:
$\vec{p}_{ \gamma} + \vec{p} = 0$,
$\Delta E = E_{ \gamma} + \frac{p^{2} }{2m}$.
Здесь $p_{ \gamma}$ - импульс $\gamma$ - кванта, связанный с его энергией соотношением $p_{ \gamma} = \frac{E_{ \gamma} }{c}$ ($c$ - скорость света), $p$ - импульс ядра отдачи. Тогда закон сохранения энергии можно представить в виде
$\Delta E = E_{ \gamma} + \frac{E_{ \gamma}^{2} }{2mc^{2} }$.
При поглощении $\gamma$ - кванта движущимся навстречу ядром тоже сохраняются импульс и энергия, а переход ядра происходит между теми же энергетическими уровнями:
$\vec{p}_{ \gamma} + \vec{p}_{1} = \vec{p}_{2}, \vec{E}_{ \gamma} + \frac{p_{1}^{2} }{2m} = \Delta E + \frac{p_{2}^{2} }{2m}$.
Из законов сохранения энергии при испускании и поглощении $\gamma$ - излучения следует
$\frac{p_{1}^{2} }{2m} = \frac{E_{ \gamma}^{2} }{2mc^{2} } + \frac{p_{2}^{2} }{2m}$.
Закон сохранения импульса при поглощении запишем в виде
$p_{1} - \frac{E_{ \gamma} }{c} = p_{2} $
Возведем в квадрат и разделим на $2m$ обе части этого равенства, получим
$\frac{p_{1}^{2} }{2m} - \frac{p_{1}E_{ \gamma} }{mc} + \frac{E_{ \gamma}^{2} }{2mc^{2} } = \frac{p_{2}^{2} }{2m}$.
Из приведенных соотношений находим
$p_{1} = \frac{E_{ \gamma} }{c}$,
откуда
$v = \frac{p_{1} }{m} = \frac{E_{ \gamma} }{mc} = \frac{E_{ \gamma} }{ mc^{2} } c = 60 м/с$.
Ответ подтверждает нерелятивистское приближение, использованное в решении.
