ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2020-03-29   
Один моль одноатомного идеального газа расширился так, что давление уменьшилось на 2%, а объем увеличился на 3%. Найдите теплоемкость газа в процессе расширения.


Решение:


Вычисление теплоемкости газа в процессе является одной из важных задач термодинамики, недостаточно освещаемой в школьном курсе.

По определению, в расчете на моль теплоемкость газа

$C = \frac{ \Delta Q}{ \Delta T}$

на каждом шаге процесса можно представить, с учетом первого начала термодинамики

$\Delta Q = \Delta U + \Delta A = C_{V} \Delta T + p \Delta V$,

в виде

$C = C_{V} + p \frac{ \Delta V}{ \Delta T}$.

Для вычисления производной $\frac{ \Delta V}{ \Delta T}$ заметим, что в начальном и конечном состояниях давление, объем и абсолютная температура одного моля газа связаны уравнением состояния:

$pV = RT$,
$(p + \Delta p)(V + \Delta V ) = R (T + \Delta T )$.

Вычитая из второго уравнения первое и пренебрегая малой (по сравнению с остальными слагаемыми) величиной $\Delta p \Delta V$, получим связь абсолютных приращений параметров состояния:

$p \Delta V + \Delta pV = R \Delta T$,

или

$\frac{ \Delta p}{ p} + \frac{ \Delta V}{V} = \frac{ \Delta T}{T}$.

Из приведенных соотношений следует, что на каждом шаге процесса

$p \frac{ \Delta V}{ \Delta T} = \frac{ \frac{p}{T} \Delta V }{ \frac{ \Delta T}{T} } = \frac{R \frac{ \Delta V}{V} }{ \frac{ \Delta V}{V} + \frac{ \Delta p}{p} }$,

тогда

$C = C_{V} + \frac{R \frac{ \Delta V}{V} }{ \frac{ \Delta V}{V} + \frac{ \Delta p}{p} }$.

Подстановка численных значений $C_{V} = \frac{3}{2}R, \frac{ \Delta p}{p} = - 0,02, \frac{ \Delta V}{V} = 0,03$ приводит к такому ответу:

$C = C_{V} + 3R = \frac{9}{2}R \approx 37,4 Дж/(моль \cdot К)$.