Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1382
2016-11-19 
Под каким углом к горизонту нужно тянуть за веревку тяжелый груз, чтобы с наименьшим усилием передвигать его волоком по горизонтальной поверхности? Коэффициент трения между грузом и поверхностью $\mu$.
Решение:
На груз действуют четыре силы, указанные на рисунке. Поскольку речь идет о минимальной силе, ускорение груза в законе Ньютона следует положить равным нулю. Действительно, представим себе сначала, что приложенная сила $\vec{F}$ (сила натяжения веревки) недостаточна для того, чтобы сдвинуть груз. Будем постепенно увеличивать эту силу. В какой-то момент (критический момент) сила окажется такой, что еще «чуть-чуть» прибавить — и груз сдвинется. Очевидно, именно это значение силы и есть минимальная сила. Груз в этот момент покоится, однако находится на грани проскальзывания, то есть сила трения достигает своего максимального значения
$F_{тр} = \mu N$. (1)
Закон Ньютона для груза в критический момент:
$\vec{F}_{тр} + \vec{N} + m \vec{g} + \vec{F} = 0$ (2)
запишем в проекциях на оси:
(2x) $- F_{тр} + F \cos \alpha = О$
(2у) $N - mg + F \cos \alpha = 0$.
Из уравнений (1, 2х, 2у) находим силу $F$:
$F = \frac{ \mu mg}{ \cos \alpha + \mu \sin \alpha}$. (3)
Воспользуемся еще раз условием минимальности. Из последнего соотношения видно, что сила $F$ будет минимальна при таком угле $\alpha$, при котором знаменатель (3) принимает максимальное значение.
Выполним тождественные преобразования знаменателя:
$\cos \alpha + \mu \sin \alpha = \sqrt{1 + \mu^{2}} \sin ( \alpha + \phi)$ (4)
$ \left ( \sin \phi = \frac{1}{ \sqrt{ 1 + \mu^{2}}}; \cos \phi = \frac{ \mu}{ \sqrt{ 1 + \mu^{2}}} \right )$.
Следовательно, максимальное значение знаменателя равно $\sqrt{ 1 + \mu^{2}}$ (максимальное значение синуса равно 1). Подставляя его в (3), окончательно получаем:
$F = \frac{ \mu mg}{ \sqrt{ 1 + \mu^{2}}}$.
Использование условий минимальности силы $F$:
$\sin ( \alpha + \phi ) = 1$
позволяет вычислить сам угол $\alpha$, при котором требуется минимальная сила:
$\alpha = \frac{ \pi}{2} 2 - arctg \frac{1}{ \mu}$
(учтено, что $\alpha + \phi = \frac{ \pi}{2}; tg \phi = \frac{ \sin \phi}{ \cos \phi} = \frac{1}{ \mu}$).
Под каким углом к горизонту нужно тянуть за веревку тяжелый груз, чтобы с наименьшим усилием передвигать его волоком по горизонтальной поверхности? Коэффициент трения между грузом и поверхностью $\mu$.
Решение:
На груз действуют четыре силы, указанные на рисунке. Поскольку речь идет о минимальной силе, ускорение груза в законе Ньютона следует положить равным нулю. Действительно, представим себе сначала, что приложенная сила $\vec{F}$ (сила натяжения веревки) недостаточна для того, чтобы сдвинуть груз. Будем постепенно увеличивать эту силу. В какой-то момент (критический момент) сила окажется такой, что еще «чуть-чуть» прибавить — и груз сдвинется. Очевидно, именно это значение силы и есть минимальная сила. Груз в этот момент покоится, однако находится на грани проскальзывания, то есть сила трения достигает своего максимального значения
$F_{тр} = \mu N$. (1)
Закон Ньютона для груза в критический момент:
$\vec{F}_{тр} + \vec{N} + m \vec{g} + \vec{F} = 0$ (2)
запишем в проекциях на оси:
(2x) $- F_{тр} + F \cos \alpha = О$
(2у) $N - mg + F \cos \alpha = 0$.
Из уравнений (1, 2х, 2у) находим силу $F$:
$F = \frac{ \mu mg}{ \cos \alpha + \mu \sin \alpha}$. (3)
Воспользуемся еще раз условием минимальности. Из последнего соотношения видно, что сила $F$ будет минимальна при таком угле $\alpha$, при котором знаменатель (3) принимает максимальное значение.
Выполним тождественные преобразования знаменателя:
$\cos \alpha + \mu \sin \alpha = \sqrt{1 + \mu^{2}} \sin ( \alpha + \phi)$ (4)
$ \left ( \sin \phi = \frac{1}{ \sqrt{ 1 + \mu^{2}}}; \cos \phi = \frac{ \mu}{ \sqrt{ 1 + \mu^{2}}} \right )$.
Следовательно, максимальное значение знаменателя равно $\sqrt{ 1 + \mu^{2}}$ (максимальное значение синуса равно 1). Подставляя его в (3), окончательно получаем:
$F = \frac{ \mu mg}{ \sqrt{ 1 + \mu^{2}}}$.
Использование условий минимальности силы $F$:
$\sin ( \alpha + \phi ) = 1$
позволяет вычислить сам угол $\alpha$, при котором требуется минимальная сила:
$\alpha = \frac{ \pi}{2} 2 - arctg \frac{1}{ \mu}$
(учтено, что $\alpha + \phi = \frac{ \pi}{2}; tg \phi = \frac{ \sin \phi}{ \cos \phi} = \frac{1}{ \mu}$).
