Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 13819
2020-03-29 
Полная энергия, которая выделяется при взрыве, по традиции называется мощностью взрыва, хотя правильнее было бы назвать эту величину энергией взрыва. Численное значение мощности взрыва обычно указывают в тротиловом эквиваленте, который имеет смысл массы тротила, при взрыве которого выделяется такое же количество энергии. Например, мощность взрыва при падении 15 февраля 2013 года Челябинского метеорита составила в тротиловом эквиваленте около 500 кт (килотонн) по оценкам NASA и примерно 150 кт по оценкам РАН. На основании усредненных экспериментальных данных принято, что энергия, выделяющаяся при взрыве одного грамма тротила, равна $Q = 1 ккал = 4184 Дж$. Таким образом, мощность взрыва при падении Челябинского метеорита была порядка $10^{15} Дж$.
В данной задаче предлагается оценить мощность взрыва воздушного шарика и определить критические параметры резины, из которой он изготовлен. Атмосферное давление $p_{0} = 760 мм рт.ст. = 10^{5} Па$.
1) Снимите зависимость избыточного давления $\Delta p$ в шарике от его объема $V$ и изобразите результаты на графике.
2) Определите критические избыточное давление $\Delta p_{max}$ и объем $V_{max}$ шарика, при которых он лопается.
3) Оцените энергию $W_{упр}$ упругой деформации оболочки в момент взрыва шарика.
4) Оцените энергию $W_{воз}$ ударной воздушной волны, возникающей из-за резкого расширения воздуха в шарике (без учета влияния оболочки).
5) Вычислите общую мощность взрыва $W$ шарика в тротиловом эквиваленте и доли $\eta_{упр}$ и $\eta_{воз}$ каждой из найденных выше составляющих.
6) Оцените максимальную относительную деформацию £max и максимальное механическое напряжение о резины, из которой изготовлен шарик.
Оборудование: три воздушных шарика, имеющих форму сосиски, груша или маленький поршневой насос известного объема, медицинский манометр, тройник, соединительные трубки, миллиметровая бумага, бумажный метр, штангенциркуль, ножницы, скотч, беруши (вставлять в уши).
Решение:
1) Соединяем шарик $S$, манометр $M$ и насос $N$ с помощью тройника $T$ и трубок (рис.). Постепенно накачивая шарик, измеряем манометром избыточное давление $\Delta p$ в зависимости от объема шарика $V$, который можно определить через параметры насоса или из геометрических соображений. На этом же этапе измеряем размеры шарика в сдутом состоянии и непосредственно перед взрывом, так как эти величины потребуются для расчетов параметров резины, описанных в последнем пункте. Качественный график зависимости $\Delta p (V)$, полученной после усреднения результатов измерений нескольких однотипных шариков, приведен на рисунке.
2) По приведенному графику находим критические параметры:
$\Delta p_{max} = 200 мм рт.ст. \approx 26,3 кПа$,
$V_{max} = 3 л = 3 \cdot 10^{-3} м^{3}$.
3) Из графика находим среднее избыточное давление:
$\Delta p_{ср} \approx 130 мм рт.ст. \approx 17,1 кПа$.
Работа газа по растяжению оболочки пропорциональна площади под графиком:
$A = \Delta p_{ср} V_{max} \approx 51 Дж$.
Из закона сохранения энергии, получаем искомую энергию:
$W_{упр} = A \approx 51 Дж$.
4) Далее для ясности будем называть воздух в шарике газом, а воздух вне шарика - атмосферой. Во время взрыва расширение газа происходит очень быстро, поэтому теплообменом пренебречь можно, но использовать уравнение адиабаты и считать работу газа как площадь под ее графиком $p(V)$ нельзя, так как процесс является существенно неравновесным. Пусть $V_{0}$ - объем газа в конце взрыва, когда его давление снизится от $p_{max} = p_{0} + \Delta p_{max}$ до $p_{0}$, тогда изменение внутренней энергии газа составит
$\Delta U = \frac{5}{2} p_{0}V_{0} - \frac{5}{2} p_{max}V_{max}$,
а работа против атмосферы будет равна
$A = p_{0} (V_{0} - V_{max} )$.
Согласно первому началу термодинамики, справедливо равенство $\Delta U = - A$, из которого находим
$V_{0} = V_{max} \left ( 1 + \frac{5 \Delta p}{7p_{0} } \right )$.
Ударная волна получает энергию за счет работы против атмосферы, поэтому искомая энергия равна
$W_{воз} = A = p_{0} (V_{0} - V_{max} ) = \frac{5}{7} \Delta p_{max}V_{max} \approx 56 Дж$.
5) Общая мощность взрыва равна
$W = W_{упр} + W_{воз} \approx 107 Дж$,
или 26 мг в тротиловом эквиваленте. Искомые доли составляют
$\eta_{упр} = \frac{ W_{упр} }{W} \approx 48$ %, $\eta_{воз} = \frac{W_{воз} }{W } \approx 52$ %
т.е. оба вклада примерно одинаковы.
6) Воздушный шарик, имеющий форму сосиски, можно рассматривать как полый цилиндр. Размеры цилиндра в сдутом состоянии: высота $H_{0} = 32 см$, длина окружности поперечного сечения $L_{0} = 23 мм$, толщина стенок $d_{0} = 0,25 мм$. Размеры цилиндра непосредственно перед взрывом: высота $H = 135 см$, длина окружности поперечного сечения $L = 160 мм$. При этом относительные деформации резины в поперечном и продольном направлениях составляют
$\epsilon_{L} = \frac{L}{L_{0} } - 1 \approx 6,0$ и $\epsilon_{H} = \frac{H}{H_{0} } - 1 \approx 3,2$.
При взрыве шарик рвется вдоль, а не поперек, что полностью согласуется с теоретическим расчетом деформаций ( $\epsilon_{L} > \epsilon_{H}$ ). Таким образом, искомая максимальная относительная деформация равна
$\epsilon_{max} = \epsilon_{L} = 600$ %.
Пусть $d$ - толщина оболочки шарика непосредственно перед взрывом, тогда из условия постоянства объема резины $H_{0}L_{0}d_{0} = HLd$ находим
$d = \frac{H_{0}L_{0}d_{0} }{HL} = 8,5мкм$.
Радиус поперечного сечения цилиндра равен $R = \frac{L}{2 \pi}$.
Мысленно разрежем цилиндр осевым сечением на два равных полуцилиндра и запишем условие равновесия для одного из них непосредственно перед взрывом, когда механическое напряжение в резине достигает максимального значения $\sigma$ :
$\Delta p_{max} \cdot 2R \cdot H = \sigma \cdot 2d \cdot H$,
откуда находим
$\sigma = \Delta p_{max} \frac{R}{d} = \frac{L \Delta p_{max}}{2 \pi d} \approx 80 МПа$
Полученные результаты превосходят параметры обычной резины, имеющей, согласно справочным данным, максимальную относительную деформацию до 500% и максимальное механическое напряжение (прочность) до 25 МПа.
Полная энергия, которая выделяется при взрыве, по традиции называется мощностью взрыва, хотя правильнее было бы назвать эту величину энергией взрыва. Численное значение мощности взрыва обычно указывают в тротиловом эквиваленте, который имеет смысл массы тротила, при взрыве которого выделяется такое же количество энергии. Например, мощность взрыва при падении 15 февраля 2013 года Челябинского метеорита составила в тротиловом эквиваленте около 500 кт (килотонн) по оценкам NASA и примерно 150 кт по оценкам РАН. На основании усредненных экспериментальных данных принято, что энергия, выделяющаяся при взрыве одного грамма тротила, равна $Q = 1 ккал = 4184 Дж$. Таким образом, мощность взрыва при падении Челябинского метеорита была порядка $10^{15} Дж$.
В данной задаче предлагается оценить мощность взрыва воздушного шарика и определить критические параметры резины, из которой он изготовлен. Атмосферное давление $p_{0} = 760 мм рт.ст. = 10^{5} Па$.
1) Снимите зависимость избыточного давления $\Delta p$ в шарике от его объема $V$ и изобразите результаты на графике.
2) Определите критические избыточное давление $\Delta p_{max}$ и объем $V_{max}$ шарика, при которых он лопается.
3) Оцените энергию $W_{упр}$ упругой деформации оболочки в момент взрыва шарика.
4) Оцените энергию $W_{воз}$ ударной воздушной волны, возникающей из-за резкого расширения воздуха в шарике (без учета влияния оболочки).
5) Вычислите общую мощность взрыва $W$ шарика в тротиловом эквиваленте и доли $\eta_{упр}$ и $\eta_{воз}$ каждой из найденных выше составляющих.
6) Оцените максимальную относительную деформацию £max и максимальное механическое напряжение о резины, из которой изготовлен шарик.
Оборудование: три воздушных шарика, имеющих форму сосиски, груша или маленький поршневой насос известного объема, медицинский манометр, тройник, соединительные трубки, миллиметровая бумага, бумажный метр, штангенциркуль, ножницы, скотч, беруши (вставлять в уши).
Решение:
1) Соединяем шарик $S$, манометр $M$ и насос $N$ с помощью тройника $T$ и трубок (рис.). Постепенно накачивая шарик, измеряем манометром избыточное давление $\Delta p$ в зависимости от объема шарика $V$, который можно определить через параметры насоса или из геометрических соображений. На этом же этапе измеряем размеры шарика в сдутом состоянии и непосредственно перед взрывом, так как эти величины потребуются для расчетов параметров резины, описанных в последнем пункте. Качественный график зависимости $\Delta p (V)$, полученной после усреднения результатов измерений нескольких однотипных шариков, приведен на рисунке.
2) По приведенному графику находим критические параметры:
$\Delta p_{max} = 200 мм рт.ст. \approx 26,3 кПа$,
$V_{max} = 3 л = 3 \cdot 10^{-3} м^{3}$.
3) Из графика находим среднее избыточное давление:
$\Delta p_{ср} \approx 130 мм рт.ст. \approx 17,1 кПа$.
Работа газа по растяжению оболочки пропорциональна площади под графиком:
$A = \Delta p_{ср} V_{max} \approx 51 Дж$.
Из закона сохранения энергии, получаем искомую энергию:
$W_{упр} = A \approx 51 Дж$.
4) Далее для ясности будем называть воздух в шарике газом, а воздух вне шарика - атмосферой. Во время взрыва расширение газа происходит очень быстро, поэтому теплообменом пренебречь можно, но использовать уравнение адиабаты и считать работу газа как площадь под ее графиком $p(V)$ нельзя, так как процесс является существенно неравновесным. Пусть $V_{0}$ - объем газа в конце взрыва, когда его давление снизится от $p_{max} = p_{0} + \Delta p_{max}$ до $p_{0}$, тогда изменение внутренней энергии газа составит
$\Delta U = \frac{5}{2} p_{0}V_{0} - \frac{5}{2} p_{max}V_{max}$,
а работа против атмосферы будет равна
$A = p_{0} (V_{0} - V_{max} )$.
Согласно первому началу термодинамики, справедливо равенство $\Delta U = - A$, из которого находим
$V_{0} = V_{max} \left ( 1 + \frac{5 \Delta p}{7p_{0} } \right )$.
Ударная волна получает энергию за счет работы против атмосферы, поэтому искомая энергия равна
$W_{воз} = A = p_{0} (V_{0} - V_{max} ) = \frac{5}{7} \Delta p_{max}V_{max} \approx 56 Дж$.
5) Общая мощность взрыва равна
$W = W_{упр} + W_{воз} \approx 107 Дж$,
или 26 мг в тротиловом эквиваленте. Искомые доли составляют
$\eta_{упр} = \frac{ W_{упр} }{W} \approx 48$ %, $\eta_{воз} = \frac{W_{воз} }{W } \approx 52$ %
т.е. оба вклада примерно одинаковы.
6) Воздушный шарик, имеющий форму сосиски, можно рассматривать как полый цилиндр. Размеры цилиндра в сдутом состоянии: высота $H_{0} = 32 см$, длина окружности поперечного сечения $L_{0} = 23 мм$, толщина стенок $d_{0} = 0,25 мм$. Размеры цилиндра непосредственно перед взрывом: высота $H = 135 см$, длина окружности поперечного сечения $L = 160 мм$. При этом относительные деформации резины в поперечном и продольном направлениях составляют
$\epsilon_{L} = \frac{L}{L_{0} } - 1 \approx 6,0$ и $\epsilon_{H} = \frac{H}{H_{0} } - 1 \approx 3,2$.
При взрыве шарик рвется вдоль, а не поперек, что полностью согласуется с теоретическим расчетом деформаций ( $\epsilon_{L} > \epsilon_{H}$ ). Таким образом, искомая максимальная относительная деформация равна
$\epsilon_{max} = \epsilon_{L} = 600$ %.
Пусть $d$ - толщина оболочки шарика непосредственно перед взрывом, тогда из условия постоянства объема резины $H_{0}L_{0}d_{0} = HLd$ находим
$d = \frac{H_{0}L_{0}d_{0} }{HL} = 8,5мкм$.
Радиус поперечного сечения цилиндра равен $R = \frac{L}{2 \pi}$.
Мысленно разрежем цилиндр осевым сечением на два равных полуцилиндра и запишем условие равновесия для одного из них непосредственно перед взрывом, когда механическое напряжение в резине достигает максимального значения $\sigma$ :
$\Delta p_{max} \cdot 2R \cdot H = \sigma \cdot 2d \cdot H$,
откуда находим
$\sigma = \Delta p_{max} \frac{R}{d} = \frac{L \Delta p_{max}}{2 \pi d} \approx 80 МПа$
Полученные результаты превосходят параметры обычной резины, имеющей, согласно справочным данным, максимальную относительную деформацию до 500% и максимальное механическое напряжение (прочность) до 25 МПа.
